Conhecemos como números reais todos os números racionais e irracionais. Ao estudar os conjuntos numéricos, é importante entender que eles acompanham as necessidades e a história da humanidade, os conjuntos numéricos são:
Os números reais possuem propriedades como: associativa, comutativa, existência do elemento neutro para a soma e para a multiplicação, existência de um elemento inverso na multiplicação, e distributiva. Os números reais podem ser representados na reta real — a forma de representá-los ordenadamente.
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Conhecemos como números reais o conjunto formado pela união dos números racionais e irracionais. É bastante comum o trabalho com eles, mas o conjunto dos números reais não foi o primeiro que surgiu na História.
O primeiro conjunto numérico foi formado pelos números naturais. Eles foram criados da necessidade básica do ser humano de contagem e de contabilizar objetos do seu dia a dia. Os números naturais são:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
Com a evolução da sociedade, os anseios do ser humano foram alterando-se e surgiu a necessidade do trabalho com números negativos. Operações como 4 – 6, que, no conjunto dos números naturais, não faziam sentido passaram a fazê-lo com o surgimento desse novo conjunto. O conjunto dos números inteiros surgiu com o acréscimo dos números negativos no conjunto dos números naturais, ou seja, ele é formado pelos números naturais e pelo oposto deles.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
Acontece que, ainda assim, com o acréscimo dos números negativos, o conjunto dos números inteiros não era suficiente, pois, desde o antigo Egito, é bastante comum a utilização de números que não são inteiros. Foi então que se percebeu a necessidade de formalização de um novo conjunto: o conjunto formado por todos os números que podem ser representados por uma fração é conhecido como números racionais.
Diferentemente do conjunto dos números inteiros, nos racionais não é possível escrever uma lista de termos com seus antecessores e sucessores, porque, dados os números racionais, sempre vai existir um outro número racional entre eles. Por exemplo, entre o 1 e o 2 existe o 1,5; entre o 1 e o 1,5 existe o 1,25; e assim sucessivamente. Por isso, para representar os números racionais, utilizamos a seguinte notação:
Nessa notação o número racional é aquele que pode ser representado pela fração a sob b, em que a é um número inteiro e b é um número inteiro não diferente de zero.
No conjunto dos números racionais, foram inclusos todos os números inteiros que já eram conhecidos, pois todos eles podem ser representados como uma fração, além dos números decimais exatos e das dízimas periódicas, positivas e negativas.
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Contrariando a definição dos números racionais, existem números que não podem ser representados como fração. Alguns matemáticos estudaram-nos a tempo, na tentativa de realizar essa representação, mas ela não é possível. Esses números são as dízimas não periódicas e as raízes não exatas, que acabam gerando como resultado dízimas não periódicas. O número π, por exemplo, é um número irracional bastante comum no dia a dia. O conjunto dos números irracionais não é listável, assim como os racionais, e é representado pela letra I.
Exemplos:
Como todos os números naturais e inteiros são considerados racionais, até o momento, os números podem ser classificados em dois grandes conjuntos, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. O conjunto dos números reais nada mais é que a união dos números racionais e irracionais.
R = {Q U I}
Até o momento, todos os números que conhecemos são nomeados números reais.
As operações que envolvem os números reais são as já conhecidas para todos os conjuntos numéricos anteriores. São elas:
Para realizar qualquer uma dessas operações entre os números reais, não há nenhuma diferença em relação às operações com os números anteriores.
Ainda, considerando-se tais operações, é importante destacar que existem propriedades no conjunto dos números reais.
É importante entender que as propriedades dos números reais são consequências de sua definição e são úteis para realização das operações. São elas:
Seja a um número real.
Existe um número que, somado com a, resulta no próprio a:
a + 0 = a
0 é o elemento neutro da soma.
Existe um número que, ao multiplicar-se por a, resulta no próprio a.
a · 1 = a
1 é o elemento neutro da multiplicação.
Seja a e b dois números reais.
Tanto na adição quanto na multiplicação, a ordem dos números não alterará o resultado.
a + b = b + a
a · b = b · a
Seja a, b e c números reais.
Tanto na adição quanto na multiplicação, os dois números operados são indiferentes à qualquer ordem.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Seja a, b e c números reais.
A propriedade distributiva mostra que o produto da soma é igual à soma dos produtos.
c (a + b) = ca + cb
Seja a um número real diferente de zero.
Para todo número real a diferente de zero, existe um número tal que o produto entre a e esse número é igual a 1.
Podemos representar o conjunto dos números reais em uma reta, já que existe um princípio de ordem bem definido para ele. Essa representação na reta é conhecida como reta real ou reta numérica e é bastante comum, inclusive no estudo do plano cartesiano.
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Questão 1 – Julgue as afirmativas a seguir:
I – As dízimas periódicas são números reais.
II – Todo número real é racional ou irracional.
III – Nem todo número inteiro é natural.
Ao analisar as afirmativas, podemos afirmar que:
A) somente I é falsa.
B) somente II é falsa.
C) somente III é falsa.
D) todas são verdadeiras.
E) todas são falsas.
Resolução
Alternativa D.
I – Verdadeira, pois as dízimas são números irracionais, consequentemente, são números reais.
II – Verdadeira, pois o conjunto dos números reais é a união dos reais com os irracionais.
III – Verdadeira, pois os números negativos, como o -2 e o -5, são inteiros, mas não naturais.
Questão 2 – Confira as propriedades a seguir:
I – propriedade comutativa
II – propriedade distributiva
III – propriedade associativa
Analise as operações seguintes e marque-as com o número de suas respectivas propriedades:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Qual das alternativas corresponde à ordem correta das propriedades:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Resolução
Alternativa A.
1 - (II) Nesse caso, aconteceu a propriedade distributiva, pois note que 3 foi multiplicado por cada um dos fatores da operação.
2 - (I) Nesse caso, a ordem dos fatores não altera o produto, comutatividade da multiplicação.
3 - (III) Temos a propriedade associativa, pois a ordem em que esses elementos são adicionados não altera a soma.
4 - (I) Temos aqui novamente a comutatividade, pois a ordem das parcelas não altera a soma.