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Matemática

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Números primos

Chamamos de número primo um número natural que possui dois divisores: 1 e ele mesmo. Para encontrar números primos, foi desenvolvido o crivo de Eratóstenes. Quando um número não é primo, podemos escrevê-lo como a multiplicação de números primos, processo esse chamado de fatoração.

Leia também: Qual o valor de um algarismo?

Como saber se um número é primo?

A busca por números primos é bastante comum na Matemática. Quando dividimos um número por outro e o resultado é exato, ou seja, não deixa resto, esse número é chamado de divisor. Para identificar se um número é primo ou não, precisamos conhecer quais são os divisores desse número. Caso esse número tenha exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo, ele é primo; caso contrário, não é primo.

Um número é chamado de primo quando possui exatamente dois divisores, 1 e ele mesmo.

  • Exemplo

O número 12 não é primo, pois os números que dividem o 12 são:

D(12) = 1,2,3,4,6 e 12

Já o número 17 é primo, pois os divisores de 17 são:

D(17) = 1, 17.

Os números primos são utilizados para diversos fins na Matemática.

Crivo de Eratóstenes

Encontrar números primos nem sempre é uma tarefa fácil. O método mais usado para essa tarefa é o crivo de Eratóstenes, o qual permite encontrar todos os números primos entre dois números.

Vamos, por exemplo, encontrar os números primos de 1 até 100 utilizando esse método.

Listaremos todos os números de 1 até 100 de forma organizada. Veja:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Sabemos que 1 possui só 1 divisor, então ele não é primo. Sabemos também que 2 possui 2 divisores, 1 e ele mesmo, então 2 é primo. Agora os demais números pares são todos divisíveis por 2, então eles não são primos. Assim, vamos marcar todos os outros números pares e o número 1 na lista.

Dos números que restaram em preto, sabemos que 3 possui só dois divisores, logo ele é primo. Porém, os números múltiplos de 3, como o 6,9,12,15 …, não são primos. Marcaremos agora todos os números múltiplos de 3 que restaram na lista.

Sabemos que o número 5 é primo, mas os múltiplos de 5 (que são os números terminados em 5 ou 0) não são, pois 5 é divisor desses números. Então vamos marcar esses números também.

O número 7 é primo. Usando o mesmo raciocínio, marcaremos os múltiplos de 7 que ainda não foram assinalados.

Agora sabendo que 11 é primo, vamos procurar os números múltiplos de 11, como não há nenhum número múltiplo de 11, sabemos que terminamos o crivo.

Os números restantes são primos, então os primos de 1 até 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Observação: Caso queiramos encontrar os primos entre números maiores, como os primos de 1 até 200 ou de 1 até 500, o processo continuará até encontrarmos um número primo que não possui nenhum múltiplo a ser riscado na tabela.

Veja também: Critérios de divisibilidade – processos que facilitam a operação de divisão

Fatoração

Um número que não é primo pode ser fatorado, ou seja, podemos realizar o que chamamos de decomposição de fatores primos. Esse processo é útil para calcular o MMC e o MDC.

Para fazer a decomposição, faremos divisões sucessivas do número até resultar em 1.

  • Exemplo

Então a decomposição de 72 em fatores primos é 2³.3².

Números primos de 1 até 1000

Conheça todos os números primos que existem entre 1 e 1000.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

Exercícios resolvidos

Questão 1 - A decomposição em fatores primos do número 720 é igual a?

A) 2³. 3². 5

B)2². 3³ . 5

C) 2 . 3. 5

D)2² . 3. 5³

Resolução

Alternativa A.

Realizando a fatoração, temos que:

Questão 2 - Marque a afirmativa correta:

A) Todo número ímpar é primo.

B) Todo número par não é primo.

C) 2 é o único número par que é primo.

D) 9 é o único número ímpar que não é primo.

Resolução

Alternativa C.
a) Falsa, pois existem números primos e números não primos ímpares. Por exemplo, 3 é primo, mas 15 não.

b) Falsa, pois existe um único número par que é primo, o número 2.

c) Verdadeira, pois 2 é o único número par que é primo.

d) Falsa, pois existem vários outros números ímpares que não são primos, como o 15 citado, o 21, o 39, entre outros. 

Por Raul Rodrigues de Oliveira

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