Critérios de divisibilidade

Os critérios de divisibilidade são métodos utilizados para verificar se um número é ou não divisível por outro. Para números diferentes, utilizamos critérios diferentes. Por exemplo, para ser divisível por 2, basta o número ser par, para ser divisível por 5, o número precisa ter unidade 5 ou 0. Existem critérios de divisibilidade diferentes para cada número entre 2 e 10.

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Resumo sobre os critérios de divisibilidade

• Por 2: números com a unidade par, ou seja, terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.

• Por 3: números cuja soma dos algarismos é múltipla de 3.

• Por 4: números cujos dois últimos algarismos são divisíveis por 4 ou caso o número termine em 00.

• Por 5: números terminados em 5 ou 0.

• Por 6: números divisíveis por 3 e 2 ao mesmo tempo.

• Por 7: passo a passo:

  • retirar o último algarismo do número;

  • calcular a diferença entre o novo número e o dobro do algarismo retirado;

  • repetir o processo, até encontrar um número menor, sendo possível verificar se ele é divisível por 7.

• Por 8: números cujos três últimos algarismos são divisíveis por 8, ou caso o número termine em 000.

• Por 9: números cuja soma dos algarismos é múltipla de 9.

• Por 10: números terminados em 0.

Videoaula sobre critérios de divisibilidade

O que são os critérios de divisibilidade?

Conhecemos como critérios de divisibilidade os métodos utilizados para saber de forma mais rápida se um número é ou não divisível por outro número. O critério de divisibilidade nos permite descobrir se um número é divisível pelo outro sem realizar de fato a divisão.

Existem critérios diferentes de um número para o outro. Conheceremos, a seguir, o critério de divisibilidade pelo número 2 até o critério de divisibilidade pelo número 10.

Critério de divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando ele for um número par, e um número é par quando terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8. Então, para saber se um número é divisível ou não por 2, basta analisar o seu último algarismo.

Exemplos:

• 130 → é divisível por 2, pois ele termina em 0;

• 5406 → é divisível por 2, pois ele termina em 6;

• 1231 → não é divisível por 2, pois ele termina em 1;

• 1.293.023 → não é divisível por 2, pois ele termina em 3.

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Critério de divisibilidade por 3

Para verificar se um número é divisível por 3, somamos todos os algarismos desse número. Se o resultado dessa soma for divisível por 3, então o número é divisível por 3.

Exemplos:

• 3258 → 3 + 2 + 5 + 8 = 18 → sabemos que 18 é divisível por 3, então, 3258 também é divisível por 3;

• 10.320 → 1 + 0 + 3 + 2 + 0 = 6 → sabemos que 6 é divisível por 3, então, 10.320 também é divisível por 3;

• 125 → 1 + 2 + 5 = 8 → sabemos que 8 não é divisível por 3, então, 125 não é divisível por 3.

Critérios de divisibilidade por 4

Para que um número seja divisível por 4, é suficiente que seus dois últimos algarismos sejam divisíveis por 4. Quando o número termina com 00, ele também será divisível por 4.

Exemplos:

• 20.152 → 52 : 4 = 13. Como 52 é divisível por 4, então, 20.152 também é divisível por 4;

• 8400 → números terminados em 00 são divisíveis por 4, então, 8400 é divisível por 4;

• 3039 → 39 : 4 deixa resto 3. Como 39 não é divisível por 4, então, 3039 também não é divisível por 4;

• 20.117 → 17 : 4 deixa resto 1. Como 17 não é divisível por 4, então, 20.117 também não é divisível por 4.

Critérios de divisibilidade por 5

Um dos critérios de divisibilidade mais simples é o por 5. Para que o número seja divisível por 5, basta ele terminar em 0 ou em 5.

Exemplos:

• 1230 → termina em 0, logo, 1230 é divisível por 5;

• 365 → termina em 5, logo, 365 é divisível por 5;

• 1203 → termina em 3, logo, 1203 não é divisível por 5;

• 1111 → termina em 1, logo, 1111 não é divisível por 5.

Critério de divisibilidade por 6

Para que um número seja divisível por 6, é necessário que ele satisfaça o critério de divisibilidade por 2 e por 3 ao mesmo tempo, ou seja, o número tem que ser par, e a soma dos algarismos tem que ser igual a um múltiplo de 3.

Exemplos:

• 1320 → termina em 0, logo, ele é divisível por 2.

1 + 3 + 2 + 0 = 6, e 6 é múltiplo de 3, logo, 1320 é divisível por 3.

Como 1320 é divisível por 2 e por 3, então, ele é divisível por 6.

• 5628 → termina em 8, logo, ele é divisível por 2.

5 + 6 + 2 + 8 = 21, e 21 é múltiplo de 3, então, 5628 é divisível por 3.

Como 5628 é divisível por 2 e por 3, então, ele é divisível por 6.

• 1329 → termina em 9, logo, ele não é divisível por 2, o que descarta a possibilidade de ele ser divisível por 6.

• 1526 → termina em 6, logo, ele é divisível por 2.

1 + 5 + 2 + 6 = 14, e 14 não é múltiplo de 3, logo, 1526 não é divisível por 3 e, como consequência, também não é divisível por 6.

Critérios de divisibilidade por 7

Para verificar se um número é divisível por 7, é necessário seguir alguns passos, vejamos na prática como fazer a verificação.

Exemplo 1:

Verifique se 8694 é divisível por 7.

1º passo: retirar o último algarismo do número, formando um novo número.

869

2º passo: calcular a diferença entre o novo número encontrado e o dobro do algarismo que foi retirado.

869 – 4 · 2

869 – 8

861

3º passo: repetir o processo até encontrar um número menor, verificando se ele é divisível por 7.

86 – 1 · 2

86 – 2

84

4º passo: o 84 é um número fácil de verificar se ele é divisível ou não por 7 — 84 : 7 = 12. Note que esse número não deixou resto na divisão por 7, então, 8694 é divisível por 7.

Exemplo 2:

Verifique se 6478 é divisível por 7:

Aplicando o método do critério de divisão por 7, temos que:

647 – 2 · 8

647 – 16

631

Como 631 é um número grande, vamos repetir o processo:

63 – 1 · 2

63 – 2

61

Com o número 61 já é mais fácil verificar, pois 61 : 7 deixa resto 5. Sendo assim, podemos afirmar que 6478 não é divisível por 7.

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Critérios de divisibilidade por 8

Para verificar se um número é divisível por 8, analisamos somente os seus 3 últimos algarismos. Se eles forem divisíveis por 8, então o número todo será divisível por 8. O outro caso é que números terminados em 000 também são divisíveis por 8.

Exemplos:

• 123.000 → números terminados em 000 são divisíveis por 8, então, 123.000 é divisível por 8;

• 50.136 → 136 : 8 = 17. Como 136 é divisível por 8, então, 50.136 também é divisível por 8;

• 30.321 → 321 : 8 deixa resto 1, então, 30.321 não é divisível por 8;

• 99.012 → 012 : 8 deixa resto 4, então, 99.012 não é divisível por 8.

Critérios de divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for igual a um número múltiplo de 9.

Exemplos:

• 3456 → 3 + 4 + 5 + 6 = 18. Como 18 é múltiplo de 9, então, 3456 é divisível por 9;

• 3150 → 3 + 1 + 5 + 0 = 9. Como 9 é múltiplo de 9, então, 3150 é divisível por 9;

• 867 → 8 + 6 + 7 = 21. Como 21 não é múltiplo de 9, então, 867 não é divisível por 9;

• 4889 → 4 + 8 + 8 + 9 = 29. Como 29 não é múltiplo de 9, então, 4889 não é divisível por 9.

Critérios de divisibilidade por 10

O critério de divisibilidade por 10 é o mais simples entre os critérios mostrados. Um número é divisível por 10 se ele terminar em 0.

Exemplos:

• 1230 → é divisível por 10, pois termina em 0;

• 7920 → é divisível por 10, pois termina em 0;

• 1231 → não é divisível por 10, pois termina em 1;

• 5122 → não é divisível por 10, pois termina em 2.

Exercícios resolvidos sobre os critérios de divisibilidade

Questão 1 - Analisando o número 293.076, julgue as afirmativas a seguir:

I → o número apresentado é divisível por 2.

II → o número apresentado é divisível por 9.

III → o número apresentado é divisível por 8.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a I é verdadeira.

B) Somente a II é verdadeira.

C) Somente a III é verdadeira.

D) Somente a I e a II são verdadeiras.

E) Somente a I e a III são verdadeiras.

Resolução

Alternativa D

I → o número apresentado é divisível por 2. (verdadeira)

O número 293.076 termina em 6, que é par, logo, ele é divisível por 2.

II → o número apresentado é divisível por 9. (verdadeira)

Para verificar se 293.076 é divisível por 9, somaremos os algarismos: 2 + 9 + 3 + 0 + 7 + 6 = 27. Como 27 é múltiplo de 9, então, ele é divisível por 9.

III → o número apresentado é divisível por 8. (falsa)

Para que 293.076 seja divisível por 8, os números 076 precisam ser divisíveis por 8, o que é falso, pois 76 : 8 deixa resto 4.

Questão 2 - Após a aula de matemática sobre os critérios de divisibilidade, Samanta escreveu três sentenças:

I → Todo número divisível por 10 é também divisível por 5.

II → Todo número par é divisível por 6.

III → Todo número divisível por 6 é par.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I está incorreta.

B) Somente a afirmativa II está incorreta.

C) Somente a afirmativa III está incorreta.

D) Todas as afirmativas estão corretas.

Resolução

Alternativa B

I → Todo número divisível por 10 é também divisível por 5. (verdadeira)

Para que o número seja divisível por 10, ele precisa terminar em 0, critério esse que também serve para verificar se o número é divisível por 5, logo, todo número divisível por 10 é divisível por 5 também.

II → Todo número par é divisível por 6. (falsa)

Existem números que são pares e não são divisíveis por 6.

III → Todo número divisível por 6 é par. (verdadeira)

Um dos critérios para que o número seja divisível por 6 é que ele seja divisível por 2 também, sendo assim, esse número é obrigatoriamente par.