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Divisores

Dizemos que um número é divisor do outro quando temos uma divisão exata, ou seja, quando ela não deixa resto. Um número pode ter vários divisores.

Representação da divisão entre 8 e 2, resultando em 4. O número 2 é um divisor do número 8, pois 4 é um número inteiro.

Podemos dizer que um número é divisor de outro quando a divisão entre eles tem como resultado um número inteiro, ou seja, quando fazemos a divisão e encontramos resto igual a zero. Para saber se um número é divisor de outro, basta verificar qual é o resto deixado quando realizamos a divisão. Existem também os critérios de divisibilidade, que nos ajudam a verificar se o número é divisível ou não por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10.

Leia também: A importância do resto da divisão

Divisores dos números de 1 até 1000

  • Divisores de 1: D(1) = {1}
  • Divisores de 2: D(2) = {1, 2}
  • Divisores de 3: D(3) = {1, 3}
  • Divisores de 4: D(4) = {1, 2, 4}
  • Divisores de 5: D(5) = {1, 5}
  • Divisores de 6: D(6) = {1, 2, 3, 6}
  • Divisores de 7: D(7) = {1, 7}
  • Divisores de 8: D(8) = {1, 2, 4, 8}
  • Divisores de 9: D(9) = {1, 3, 9}
  • Divisores de 10: D(10) = {1, 2, 5, 10}
  • Divisores de 11: D(11) = {1, 11}
  • Divisores de 12: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
  • Divisores de 13: D(13) = {1, 13}
  • Divisores de 14: D(14) = {1, 2, 7, 14}
  • Divisores de 15: D(15) = {1, 3, 5, 15}
  • Divisores de 16: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
  • Divisores de 17: D(17) = {1, 17}
  • Divisores de 18: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
  • Divisores de 19: D(19) = {1, 19}
  • Divisores de 20: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
  • Divisores de 21: D(21) = {1, 3, 7, 21}
  • Divisores de 22: D(22) = {1, 2, 11, 22}
  • Divisores de 23: D(23) = {1, 23}
  • Divisores de 24: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
  • Divisores de 25: D(25) = {1, 5, 25}
  • Divisores de 26: D(26) = {1, 2, 13, 26}
  • Divisores de 27: D(27) = {1, 3, 9, 27}
  • Divisores de 28: D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
  • Divisores de 29: D(29) = {1, 29}
  • Divisores de 30: D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
  • Divisores de 31: D(31) = {1, 31}
  • Divisores de 32: D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
  • Divisores de 33: D(33) = {1, 3, 11, 33}
  • Divisores de 34: D(34) = {1, 2, 17, 34}
  • Divisores de 35: D(35) = {1, 5, 7, 35}
  • Divisores de 36: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
  • Divisores de 37: D(37) = {1, 37}
  • Divisores de 38: D(38) = {1, 2, 19, 38}
  • Divisores de 39: D(39) = {1, 3, 13, 39}
  • Divisores de 40: D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
  • Divisores de 41: D(41) = {1, 41}
  • Divisores de 42: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
  • Divisores de 43: D(43) = {1, 43}
  • Divisores de 44: D(44) = {1, 2, 4, 11, 22, 44}
  • Divisores de 45: D(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
  • Divisores de 46: D(46) = {1, 2, 23, 46}
  • Divisores de 47: D(47) = {1, 47}
  • Divisores de 48: D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
  • Divisores de 49: D(49) = {1, 7, 49}
  • Divisores de 50: D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}

  • Divisores de 51: D(51) = {1, 3, 17, 51}
  • Divisores de 52: D(52) = {1, 2, 4, 13, 26, 52}
  • Divisores de 53: D(53) = {1, 53}
  • Divisores de 54: D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}
  • Divisores de 55: D(55) = {1, 5, 11, 55}
  • Divisores de 56: D(56) = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}
  • Divisores de 57: D(57) = {1, 3, 19, 57}
  • Divisores de 58: D(58) = {1, 2, 29, 58}
  • Divisores de 59: D(59) = {1, 59}
  • Divisores de 60: D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
  • Divisores de 61: D(61) = {1, 61}
  • Divisores de 62: D(62) = {1, 2, 31, 62}
  • Divisores de 63: D(63) = {1, 3, 7, 9, 21, 63}
  • Divisores de 64: D(64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}
  • Divisores de 65: D(65) = {1, 5, 13, 65}
  • Divisores de 66: D(66) = {1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}
  • Divisores de 67: D(67) = {1, 67}
  • Divisores de 68: D(68) = {1, 2, 4, 17, 34, 68}
  • Divisores de 69: D(69) = {1, 3, 23, 69}
  • Divisores de 70: D(70) = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
  • Divisores de 71: D(71) = {1, 71}
  • Divisores de 72: D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
  • Divisores de 73: D(73) = {1, 73}
  • Divisores de 74: D(74) = {1, 2, 37, 74}
  • Divisores de 75: D(75) = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
  • Divisores de 76: D(76) = {1, 2, 4, 19, 38, 76}
  • Divisores de 77: D(77) = {1, 7, 11, 77}
  • Divisores de 78: D(78) = {1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78}
  • Divisores de 79: D(79) = {1, 79}
  • Divisores de 80: D(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}
  • Divisores de 81: D(81) = {1, 3, 9, 27, 81}
  • Divisores de 82: D(82) = {1, 2, 41, 82}
  • Divisores de 83: D(83) = {1, 83}
  • Divisores de 84: D(84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}
  • Divisores de 85: D(85) = {1, 5, 17, 85}
  • Divisores de 86: D(86) = {1, 2, 43, 86}
  • Divisores de 87: D(87) = {1, 3, 29, 87}
  • Divisores de 88: D(88) = {1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88}
  • Divisores de 89: D(89) = {1, 89}
  • Divisores de 90: D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
  • Divisores de 91: D(91) = {1, 7, 13, 91}
  • Divisores de 92: D(92) = {1, 2, 4, 23, 46, 92}
  • Divisores de 93: D(93) = {1, 3, 31, 93}
  • Divisores de 94: D(94) = {1, 2, 47, 94}
  • Divisores de 95: D(95) = {1, 5, 19, 95}
  • Divisores de 96: D(96) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}
  • Divisores de 97: D(97) = {1, 97}
  • Divisores de 98: D(98) = {1, 2, 7, 14, 49, 98}
  • Divisores de 99: D(99) = {1, 3, 9, 11, 33, 99}
  • Divisores de 100: D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
  • Divisores de 200: D(200) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200}
  • Divisores de 300: D(300) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300}
  • Divisores de 400: D(400) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400}
  • Divisores de 500: D(500) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500}
  • Divisores de 600: D(600) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600}
  • Divisores de 700: D(700) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700}
  • Divisores de 800: D(800) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 80, 100, 160, 200, 400, 800}
  • Divisores de 900: D(900) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900}
  • Divisores de 1000: D(1000) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000}

Videoaula sobre os divisores de um número

Critérios de divisibilidade

Os critérios de divisibilidade são métodos para verificar se um número é ou não divisível por outro. Veja, a seguir, os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

  • Critério de divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par. Para ser par, a unidade desse número tem que ser igual a 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: 

1230, 902, 354, 10.236 e 25.558

Todos esses números são pares, logo, são divisíveis por 2.

  • Critério de divisibilidade por 3

Para saber se um número é divisível por 3, somamos todos os seus algarismos. Quando o resultado é um número divisível por 3, então o número também é divisível por 3. Exemplos:

    • 4359 → 4 + 3 + 5 + 9 = 21 → como 21 é divisível por 3, então 4359 também é divisível por 3.
    • 30.981 → 3 + 0 + 9 + 5 + 1 = 18→ como 18 é divisível por 3, então 30.981 também é divisível por 3.
  • Critérios de divisibilidade por 4

O critério de divisibilidade por 4 é utilizado para números com 3 ou mais algarismos, pois se os seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4, ou se eles forem iguais a 00, então o número é divisível por 4. Exemplos:

  • Números terminados em 00: 8400, 2.014.900, 12.300
  • Números cuja dezena e unidade formam um número divisível por 4:

21.016 → 16 é divisível por 4, então 21.016 também é.

5032 → 32 é divisível por 4, então 5032 também é.

70.028 → 28 é divisível por 4, então 70.028 também é.

  • Critérios de divisibilidade por 5

Para que o número seja divisível por 5, basta ele terminar em 0 ou em 5. Exemplos:

5040, 2015, 1255, 200, 95

  • Critério de divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se ele for divisível por e 2 e por 3, logo, ele tem que ser par, e a soma dos seus algarismos tem que ser divisível por 3. Exemplo:

4326

Esse número é par, pois termina em 6, e 4 + 3 + 2 + 6 = 15, divisível por 3, então 4326 é divisível por 6.

  • Critérios de divisibilidade por 7

Para verificar se um número é divisível por 7, é necessário seguir alguns passos:

1. remover o último algarismo do número e formar um novo número com o que sobrar;

2. calcular a diferença entre o novo número e o dobro do algarismo removido;

3. repetir o processo até encontrar um número menor, que seja possível dividir por 7.

Como exemplo, vamos verificar se 1362 é divisível por 7?

⇒ 1º passo: remover o último algarismo do número: 136.

⇒ 2º passo: calcular a diferença entre o novo número encontrado e o dobro do algarismo que foi removido.

O algarismo removido foi o 2, então faremos:

136 – 4 = 134

⇒ 3º passo: agora repetiremos o processo, removendo o 4 de 134:

13 – 8 = 7

Sabemos que 7 é divisível por 7, então 1362 também é divisível por 7.

  • Critérios de divisibilidade por 8

Para verificar se o número é divisível por 8, analisamos os 3 últimos algarismos, se o número formado for divisível por 8 ou se for 000, então ele é divisível por 8. Exemplos:

3000, 123.000, 154.000, 1016, 25.648

  • Critérios de divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for igual a um número múltiplo de 9. Exemplos:

  • 5967 → 5 + 9 + 6 + 7 = 27, múltiplo de 9, então 5967 é divisível por 9.
  • 10.620 → 1 + 0 + 6 + 2 + 0 = 9, então 10.620 é divisível por 9.
  • Critérios de divisibilidade por 10

O número é divisível por 10 se terminar em 0. Exemplos:

12.320, 5930, 20, 180

Leia também: Divisão com vírgula — como fazer?

Múltiplos e divisores

Como vimos no decorrer do texto, o divisor de um número é um número que o divide de forma exata. Outro conceito importante é o de múltiplo de um número. Os múltiplos são os números encontrados após multiplicarmos o número por um número inteiro.

Exemplo:

Para encontrar os múltiplos de 4, faremos:

\(4\cdot0=0\)

\(4\cdot1=4\ \)

\(4\cdot2=8\)

\(4\cdot3=12\)

\(4\cdot4=16\)

\(4\cdot5=20\ \)

\(4\cdot6=24\)

E assim sucessivamente, logo, os múltiplos de 4 são:

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 ...}

Se necessário, podemos continuar listando os múltiplos, pois um número possui infinitos deles.

Exercícios resolvidos sobre divisores

Questão 1

Dado o número 420.039, podemos afirmar que:

A) ele é divisível por 2.

B) ele é divisível por 3.

C) ele é divisível por 4.

D) ele é divisível por 5.

E) ele é divisível por 6.

Resolução:

Alternativa B

Analisando o número, sabemos que ele não é par, logo, ele não é divisível por 2 nem por 6. Como ele não termina em 0 nem em 5, também não é divisível por 5. O último algarismo é 39, que não é divisível por 4, então esse número não é divisível por 4, restando apenas verificar se ele é divisível por 3.

Somando os algarismos, temos que:

4 + 2 + 0 + 0 + 3 + 9 = 18

Sabemos que 18 é divisível por 3, logo, 420.039 é divisível por 3 também.

Questão 2

A soma dos divisores naturais do número 32 é igual a:

A) 31

B) 32

C) 47

D) 62

E) 63

Resolução:

Alternativa E

Os números que dividem o 32 são:

D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}

Somando os divisores de 32, temos que:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

Por Raul Rodrigues de Oliveira

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