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Máximo divisor comum (MDC)

O máximo divisor comum, mais conhecido como MDC, é o maior número que divide dois ou mais números. Encontrar o MDC ajuda a resolver algumas situações-problema do nosso cotidiano. Para calculá-lo, podemos escrever a lista de divisores de cada um dos números e comparar ou podemos usar o método de decomposição desses números em fatores primos, também conhecido como decomposição simultânea.

Leia também: Multiplicação e divisão de números negativos

Como calcular o MDC?

O máximo divisor comum entre dois ou mais números, como o nome sugere, é o maior divisor que divide simultaneamente esses números. Para calcular o MDC, é bastante comum que se recorra à fatoração, que facilita o processo, mas podemos simplesmente comparar os divisores dos números envolvidos.

  • Método da comparação

  • Exemplo

Encontre o MDC de 18 e 12.

Por comparação, vamos escrever os divisores de 18 e os divisores de 12.

D(18) = {1,2,3,6,9,18}

D(12)= {1,2,3,4,6,12}

Existem alguns divisores em comum, que são os números {1,2,3,6}. O MDC é o maior deles.

MDC (12,18) = 6

Acontece que escrever os divisores dos números pode tornar-se uma tarefa bastante trabalhosa, por isso uma alternativa é usar a decomposição em fatores primos.

  • Exemplo

Encontre o MDC entre 45 e 36.

1º passo: decompor cada um dos números.

2º passo: conhecendo as fatorações, vamos encontrar cada um dos fatores em comum desses números.

36 = 2 · 2 · 3 · 3

45 = 3 · 3 · 5

3º passo: determinar o MDC, que é o produto (multiplicação) dos fatores que eles possuem em comum.

MDC (36, 45) = 3 · 3

MDC (36, 45) = 9

Isso significa que o maior número que é divisor de 36 e de 45 ao mesmo tempo é o 9.

  • Decomposição simultânea

O caminho mais rápido para encontrar o MDC entre dois números é a decomposição simultânea, conhecida também como fatoração simultânea. Diferentemente do que fizemos na decomposição anterior, vamos decompor ao mesmo tempo os números para os quais desejamos calcular o MDC.

  • Exemplo

Calcule o MDC de (48, 84).

1º passo: realizar a decomposição de ambos os números e encontrar os fatores que os dividem simultaneamente.

2º passo: realizar a multiplicação entre os fatores em comum.

MDC (48,84) = 2 · 2 · 3 = 12

Veja também: Fatoração simultânea para encontrar o MDC e o MMC

Propriedades do MDC

No cálculo do MDC, existem alguns casos em que não há necessidade de se realizar a decomposição, pois, se conhecermos a propriedade, já sabemos qual é o MDC.

1ª propriedade

O MDC entre dois números consecutivos é sempre igual a 1.

  • Exemplo

MDC (102, 103) = 1

Quando isso acontece, dizemos que os números são primos entre si, pois eles não possuem nenhum fator em comum.

2ª propriedade

Quando temos dois ou mais números e um deles é divisor dos demais, então ele será o MDC.

  • Exemplo

MDC (4,12,16 )

Sabemos que o 4 é divisor de 12 e de 16, então:

MDC(4,12,16) = 4

Diferença entre MDC e MMC

Ambos são igualmente importantes, porém representam coisas diferentes. O máximo divisor comum, como vimos, é o maior número que divide simultaneamente dois ou mais números. Já o MMC é o mínimo múltiplo comum, ou seja, o menor número que é múltiplo simultaneamente dos números que queremos calcular.

Em resumo, no MDC, estamos trabalhando com os divisores em comum e queremos encontrar o maior deles. No MMC, estamos trabalhando com os múltiplos em comum e queremos encontrar o menor deles.

  • Exemplo

Dados os números 16 e 12, encontre o MDC entre eles.

Resolução:

Vamos listar os divisores de 16 e os divisores de 12.

D(16) = 1,2,4,8,16

D(12) = 1,2,3,4,6,12

Agora vamos encontrar o maior número que divide ambos ao mesmo tempo:

MDC (16,12) = 4

Isso significa que 4 é o maior número que divide 16 e 12 ao mesmo tempo.

  • Exemplo 2

Dados os números 16 e 12, encontre o MMC entre eles.

Resolução:

Vamos listar os múltiplos de 16 e de 12 até encontrar um que seja comum aos dois.

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48...}

M(16) = {0, 16, 32, 48 …}

MMC (12,16) = 48

Isso significa que 48 é o menor número que é múltiplo de 12 e 16 ao mesmo tempo.

O máximo divisor comum ajuda a resolver algumas situações-problema do nosso cotidiano.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Qual é o MDC entre os números (15,16,17)?

a) 10

b) 5

c) 2

d) 1

e) 15

Resolução

Alternativa D. Como estamos trabalhando com três números consecutivos, sabemos que o MDC entre ele é sempre igual a 1.

Questão 2 - Em um jogo para duas ou mais pessoas, existem 36 peças triangulares e 60 peças quadradas. Sabendo que, para jogar esse jogo, as peças precisam ser igualmente distribuídas e não pode sobrar nenhuma delas, qual é o máximo de participantes possíveis no jogo?

a) 12

b) 9

c) 8

d) 6

e) 4

Resolução

Alternativa A.

Queremos encontrar o MDC entre 36 e 60.

Fatorando 36 e 60, temos que:

36 = 2 · 2 · 3 · 3

60 = 2 · 2 · 3 · 5

MDC (36,60) 2 · 2 · 3 = 12  

Por Raul Rodrigues de Oliveira

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