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Encontrando o MDC através de divisões sucessivas

Aprenda a encontrar o máximo divisor comum através do método das divisões sucessivas.

Você sabe o que é MDC? A sigla MDC significa Máximo Divisor Comum. Se nós pensarmos em dois números ou mais, há um ou mais valores que dividem esses números, e a divisão não deixa restos. Por exemplo, considere os números 30 e 12, vamos identificar os divisores de cada número:

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

O 12 e o 30 possuem alguns divisores em comum, são eles o 2, 3 e 6. O maior deles é o 6. Por essa razão, dizemos que o máximo divisor comum entre 30 e 12 é o 6 ou, simplesmente, MDC (30, 12) = 6.

Mas existem outras formas de encontrar o MDC entre esses números. Vamos comentar agora sobre o método das divisões sucessivas. Nesse método, nós dividimos o maior número pelo menor. Para o último exemplo, nós dividiremos 30 por 12. Ao fazer essa divisão, encontraremos resto 6. Faremos então outra divisão, o número que estava no divisor tornar-se-á dividendo, e o que estava no resto tornar-se-á divisor. Teremos a seguinte divisão exata e que não deixa restos: 12 dividido por 6. Como essa divisão é exata, dizemos que o número que esteve por último no divisor, no caso o 6, é o máximo divisor comum entre 30 e 12. Veja abaixo todo esse processo:


Encontrando o MDC (12, 30) através do método de divisões sucessivas

As divisões devem ser feitas quantas vezes forem necessárias até que finalmente encontremos a divisão que deixa resto zero. Vejamos a seguir o processo para identificar o máximo divisor comum entre 54 e 16. Como o 54 é maior, fazemos a divisão de 54 por 16, que deixa resto 6. Fazemos, então, a divisão de 16 por 6, que deixa resto 4. Repetimos o processo agora com a divisão de 6 por 4, que deixa resto 2. Por fim, dividimos 4 por 2, obtendo resto 0. Portanto, o MDC (54, 16) = 2. Acompanhe a seguir o processo das divisões sucessivas para encontrar o máximo divisor comum entre 54 e 16:


Encontrando o MDC (54, 16) através do método de divisões sucessivas

E quando queremos encontrar o máximo divisor comum entre três ou mais números? Através do mesmo processo, escolheremos dois números para aplicar o método das divisões sucessivas até encontrar o MDC entre esses números. Ao encontrarmos, dividiremos o outro número e verificaremos se também é divisor do terceiro número. É possível repetir o processo das divisões sucessivas quantas vezes forem necessárias. A seguir, podemos ver a aplicação do procedimento para encontrar o MDC (9, 15, 27):


Encontrando o MDC (9, 15 e 27) através do método de divisões sucessivas


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

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