O mínimo múltiplo comum ou MMC de dois números inteiros positivos é o menor número, também inteiro positivo, que é múltiplo desses números simultaneamente.
O mínimo múltiplo comum, denotado por MMC, de dois ou mais números inteiros positivos é o menor número diferente de zero que aparece na lista de múltiplos desses dois ou mais números ao mesmo tempo.
Existe um método que facilita o cálculo do mínimo múltiplo comum de um número e, para usá-lo, é necessário relembrar a decomposição em fatores primos, conhecida formalmente por Teorema Fundamental da Aritmética. Tal teorema nos garante que todo número composto pode ser escrito em produto de fatores primos.
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Quando temos dois ou mais números inteiros positivos, é possível listar os múltiplos desses números. Ao realizarmos essa listagem, vamos perceber que existem mais de um múltiplo em comum, ou seja, múltiplos que aparecem ao mesmo tempo em todas as listas desses números dados. Veja o exemplo.
Exemplo - Listagem dos 10 primeiros múltiplos dos números 2, 8, 10.
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Podemos ver mais de um múltiplo comum entre os números. Perceba que, entre os M (2) e M (8), temos em comum os números 8, 16, 24...; entre M (2) e M (10), temos os números 10, 20, 30, ...; entre M (8) e M (10), temos os números 40, 80, ... Esses números são chamados de múltiplos comuns.
Para determinar o MMC, devemos realizar inicialmente a listagem de alguns múltiplos dos números em questão. O primeiro múltiplo que aparecer na listagem dos dois ou mais números em questão é chamado de mínimo múltiplo comum. Ele é chamado de mínimo, pois é o menor deles e sempre coincidirá com o primeiro número comum aos dois ou mais números.
Exemplo - Para determinar o mínimo múltiplo comum entre os números 4 e 8, vamos listar os múltiplos dos dois números.
M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} e M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Agora, perceba que o menor múltiplo que aparece nas duas listagens é o número 8. Logo, o MMC (8,4) = 8
Perceba que esse método não é prático quando os números são muito grandes. Imagine, por exemplo, determinar o MMC entre os números 2 e 121 utilizando esse método. Teríamos que listar os múltiplos de 2 até chegar próximo de 121.
Tendo isso em vista, podemos utilizar a decomposição em fatores primos, ou seja, devemos realizar divisões sucessivas por números primos. Veja o exemplo a seguir.
Para calcular o MMC (121,2), inicialmente vamos decompor em fatores primos o número e, em seguida, multiplicar esses fatores. O resultado da multiplicação será o MMC.
Assim, o MMC (121,2) = 2 ·11 ·11 = 242.
Exemplo - Determine o MMC (8,4) utilizando a decomposição em fatores primos.
Logo, o MMC (8,4) = 2 · 2 ·2 = 8, como mostrou o primeiro método.
Veja a seguir as propriedades do MMC.
O produto do máximo divisor comum com o mínimo múltiplo comum de dois números a e b é igual ao módulo do produto desses números.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|
Exemplo - Sabemos que o MDC (8,4) = 4 e MMC (8,4) = 8. De fato,
MDC (8,4) · MMC (8,4) = | 8 · 4 |.
Os múltiplos comuns de dois ou mais números são múltiplos do MMC desses números.
Exemplo - Vimos que M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} e M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} e que o MMC (8,4) = 8. A propriedade nos diz que os múltiplos de 8 e 4 são múltiplos de 8, que, coincidentemente nesse caso, é o mínimo múltiplo comum.
O MMC entre dois números primos entre si é igual à multiplicação entre eles.
OBS: Dois números são primos entre si quando não possuem divisor em comum.
Exemplo - Calcule o mínimo múltiplo comum entre 5 e 21.
Como os números não possuem divisor em comum, ou seja, são primos entre si, o menor múltiplo entre eles é o produto entre eles, assim, MMC (21,5) = 21 · 5 = 105. De fato, isso é verdade, como podemos ver na decomposição em fatores primos.
MMC (21 ,5) = 3 ·5 ·7 = 105
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O mínimo múltiplo comum é utilizado também para realizar as operações de adição e subtração de frações. Para somar ou subtrair duas ou mais frações, basta calcular inicialmente o MMC entre os denominadores e, em seguida, dividir esse MMC pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador. Veja os exemplos.
Exemplo – Determine a soma da fração a seguir 4 + 5.
7 3
Inicialmente vamos determinar o MMC (7,3). Para isso, podemos utilizar a propriedade 3, assim, MMC (7,3) = 21.
Assim, 4 + 5 = 56 :7 = 8.
7 3 21:7 3
O mesmo procedimento é válido para quando temos uma subtração de frações, bastando ficar atento apenas ao sinal entre as frações.
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Questão 1 – (UPE) Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é composto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo notou que as lâmpadas amarelas acendem a cada 45 segundos, as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27 segundos, e as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos as lâmpadas vermelhas acendem?
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
e) 18
Solução
Como as lâmpadas só acendem quando todas estão acesas ao mesmo tempo, ou seja, devemos encontrar o tempo comum de acionamento das lâmpadas. Assim, basta calcular o MMC entre 60, 45 e 27.
Logo, o MMC (60, 45, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540 segundos. Como o exercício tem interesse no intervalo de tempo em minutos, basta dividir o 540 por 60.
540 : 60 = 9 minutos.
Alternativa b.