Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos foram surgindo no decorrer da história de acordo com a necessidade do ser humano. O primeiro conjunto foi o dos naturais, posteriormente surgiram o conjunto dos números inteiros, o dos números racionais, o dos números irracionais e o dos números reais. No estudo de conjuntos, é possível realizar operações entre eles, como união, intersecção e diferença entre conjuntos.

Leia também: O que são números decimais?

Resumo sobre conjuntos numéricos

• Os conjuntos numéricos surgiram de acordo com a necessidade do ser humano.

• Os conjuntos numéricos são:
  • Conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4…}
  • Conjunto dos números inteiros Z = {…-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3…}
  • Conjunto dos números racionas, representado por Q, é formado pelos números que podem ser escritos como fração.
  • Conjunto dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser escritos como fração, como as raízes não exatas e as dízimas não periódicas.
  • Conjunto dos números reais é a união dos racionais com os irracionais.

• É possível ter conjuntos diferentes dos citados, como os conjuntos dos números pares, ímpares, naturais menores que 5, entre outros.
• Os conjuntos podem ser representados por meio do diagrama de Venn.
• É possível calcular união, intersecção e diferença entre dois conjuntos.

Videoaula sobre conjuntos numéricos

O que são conjuntos numéricos?

Os conjuntos numéricos são meios de agrupar os números de acordo com uma característica. Cada conjunto numérico tem propriedades específicas e um importante papel na Matemática. Os conjuntos numéricos foram surgindo de acordo com a necessidade do ser humano.

Quais são os conjuntos numéricos?

 São eles:

• números naturais;
• números inteiros;
• números racionais;
• números irracionais;
• números reais.

Veja também: Afinal, o que é uma fração?

Conjunto dos números naturais N

O conjunto dos números naturais, representado pela letra N, é composto pelos números inteiros não negativos, ou seja, {0, 1, 2, 3 ...}. São os primeiros que aprendemos e utilizamos para contar. Existem alguns autores que não consideram o zero como número natural, já outros, sim.

N = {0, 1, 2, 3, 4…}

Conjunto dos números inteiros Z

O conjunto dos números inteiros, representado por Z, é uma ampliação do conjunto dos números naturais, incluindo-se nele os números negativos. Então o conjunto dos números inteiros é formado por números positivos, negativos e o zero, abrangendo tanto os números usados para contagem quanto aqueles usados para medir dívidas:

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Conjunto dos números racionais Q

O conjunto dos números racionais, representado pela letra Q, é formado por todos os números que podem ser representados como uma fração, em que o numerador e o denominador são inteiros, e o denominador é diferente de zero. Isso significa que os números racionais são uma ampliação dos números inteiros, incluindo também as frações:

\(Q = \left\{ \frac{a}{b} \lor a, b, \in \mathbb{Z} eb \neq 0 \right\} \)

São números racionais as frações (por exemplo: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{5} \)) e as dízimas periódicas (por exemplo: 0,3333...).

Conjunto dos números irracionais I

O conjunto dos números irracionais, representado pela letra I, é formado por números que não podem ser representados como frações. Os números irracionais têm expansões decimais infinitas e não periódicas. Exemplos incluem:

• \(\sqrt{2} \)
• π
• 0,3214958123…

De modo geral, os números irracionais são as dízimas não periódicas e as raízes inexatas.

Conjunto dos números reais R

O conjunto dos números reais, representado por R, é formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais. Abrange todos os números que podem ser representados na reta numérica, incluindo os conjuntos anteriores, como os números naturais, os números inteiros, as frações, as raízes não exatas, e as dízimas periódicas ou não.

Propriedades dos conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos têm várias propriedades, as principais são:

• Fechamento: o conjunto numérico é dito fechado para a operação se, ao aplicar essa operação, o resultado for um elemento desse conjunto. Por exemplo, os números naturais são fechados para a soma, pois a soma de dois naturais gera outro natural; mas não são fechados para a diferença, pois a subtração de dois números naturais pode gerar um número inteiro.

• Associatividade: essa propriedade nos mostra que a ordem em que realizamos a operação entre três números, para uma mesma opção, não altera o resultado. Por exemplo, para a adição de números reais: (a + b) + c = a + (b + c).

• Comutatividade: a ordem dos elementos em uma operação não afeta o resultado. Por exemplo, a + b = b + a para todos os números reais a e b.

• Elemento neutro: um elemento é neutro na operação se, ao aplicar a operação de um número com o elemento neutro do conjunto, o resultado for o próprio número. Na adição de números reais, o elemento neutro é zero, e na multiplicação, é 1.

• Distributividade: envolve duas operações, a adição e a multiplicação. Para todos os números reais a, b, e c, temos que \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c. \)

Intervalos numéricos

Os números reais podem ser representados em uma reta, logo, temos intervalos numéricos. Entre dois números reais, existem vários outros números reais.

→ Intervalo aberto

Nesse caso, os extremos não pertencem ao conjunto.

\(x \in R \lor a < x < b \)

→ Intervalos semiabertos

Somente uma extremidade pertence ao conjunto, como representado nos casos abaixo:

\(x \in R \lor a < x \leq b \)

\(x \in R \lor a \leq x < b \)

→ Intervalo fechado

Neste caso, ambas as extremidades pertencem ao intervalo.

\(x \in R \lor a \leq x \leq b \)

Diagrama de Venn

O diagrama de Venn é uma forma de representar os elementos de um ou mais conjuntos. Essa representação facilita na visualização dos conjuntos e nas operações entre eles. Para essa representação, utilizamos uma forma geométrica fechada e escrevemos os elementos do conjunto dentro dessa forma geométrica. Saiba mais sobre esse diagrama clicando aqui.

Operações entre conjuntos numéricos

→ União

A união entre dois conjuntos forma um novo conjunto que tem como elementos a junção de todos os elementos que pertencem a qualquer um desses conjuntos. Essa operação é representada por \(A \cup B \)   (lê-se: A união com B).

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 10}
B = {9, 10, 11, 12}

\(A \cup B \)   = {1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12}

→ Intersecção

A intersecção de conjuntos é o conjunto formado pelos elementos comuns a dois ou mais conjuntos. Representamos a intersecção pelo símbolo \(\cap\). Essa operação é representada por \(A \cap B \)   (lê-se: A intersecção com B).

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 10}
B = {9, 10, 11, 12}

\(A \cap B \)   = {10}

→ Diferença

A diferença entre dois conjuntos é formada pelos elementos do conjunto que são exclusivos, ou seja, dado o conjunto A e B, A – B é formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 10}
B = {9, 10, 11, 12}

A – B = {1, 2, 3, 4}
B – A = {9, 11, 12}

Saiba mais: Dízimas periódicas — tipos, representação, fração geratriz e muito mais

Exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos

Questão 1

Julgue as afirmativas a seguir:

I – Todo número inteiro é um número real.

II – Todo número racional é um número natural.

III – Todo número natural é um número inteiro.

Marque a alternativa correta:

A) Todas as afirmativas são verdadeiras.

B) Somente a afirmativa I é falsa.

C) Somente a afirmativa II é falsa.

D) Somente a afirmativa III é falsa.

Resolução:

Alternativa C

I – Todo número inteiro é um número real. (verdadeira)

Sabemos que os números inteiros são também números reais.

II – Todo número racional é um número natural. (falsa)

Todo número natural é racional, entretanto, existem números racionais que não são naturais, como as frações não exatas.

III – Todo número natural é um número inteiro. (verdadeira)

Sabemos que os números inteiros são uma ampliação dos números naturais.

Questão 2

Dados os conjuntos:
A: {1, 2, 3, 4, 5}
B: {3, 4, 5, 6, 7}

A diferença B – A é igual ao conjunto:

A) {1, 2}

B) {2, 2, 2, 2, 2}

C) {6, 7}

D) {3, 4, 5}

Resolução:

Alternativa C

Dado o conjunto B, sabemos que 3, 4, 5 também pertencem ao conjunto A, então, os elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto B são: {6, 7}.

Fontes

E.L. Lima, P.C.P. Carvalho, E. Wagner e A.C. Morgado; A Matemática do Ensino Médio, Vol. 1, 10.ed. 2012.