Conjuntos Numéricos

Imagine que você foi à feira, comprou muitas frutas e agora precisa organizá-las em sua casa. As frutas compradas foram banana, maçã, laranja, limão, melancia, melão, goiaba e uva. Apesar de todas serem frutas, elas não são todas iguais e você precisa escolher algum padrão para poder separá-las em grupos. Algumas das frutas possuem formato circular e, entre elas, há frutas circulares grandes (melancia e melão) e outras que são menores (laranja, limão, maçã, goiaba e uva). Além disso, dentro do grupo das frutas circulares menores, há algumas que são cítricas (laranja e limão). Se fôssemos guardar essas frutas, separando-as por grupos, teríamos:

Organização das frutas de acordo com o tipo

Observando a imagem, é possível observar que o grupo das frutas cítricas está dentro dos outros grupos, pois elas possuem as mesmas características das demais frutas. O mesmo não acontece com a banana, que pertence apenas ao grupo de frutas, pois não se encaixa nem nas frutas de formato circular ou nas frutas circulares menores ou mesmo nas frutas cítricas.

Acontece algo bem parecido com os números. Como existem muitos tipos diferentes, eles podem ser organizados em diversos conjuntos numéricos de acordo com as suas características.

O primeiro e mais simples é o conjunto dos Números Naturais, cujo simbolo é . Esse grupo foi originado pela necessidade de contar objetos e ele é formado pelos primeiros números criados. Nós representamos os elementos do conjunto dos números naturais da seguinte forma:

 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Esse é um conjunto que se caracteriza por ter um valor inicial (o zero) e por não ter um valor final. Por essa razão, dizemos que o conjunto dos números naturais é infinito. Podemos ainda representar os números naturais utilizando a seguinte reta:

Representando os números naturais através de reta numérica

Depois dos números naturais, há o conjunto dos Números Inteiros, que é representado por . Utilizamos a letra z em virtude da palavra alemã zahl, que significa “números”. O conjunto dos inteiros é composto por todos os elementos do conjunto dos naturais e também por esses mesmos elementos antecedidos pelo sinal de “menos”, os chamados “números negativos”. Podemos representar o conjunto dos números naturais da seguinte forma:

 = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}

Observe que o único número que não recebe o sinal negativo é o zero. Esse conjunto também é infinito, pois não conseguimos determinar nem o seu primeiro elemento nem o último. Utilizando a reta numérica, temos a seguinte representação para os números inteiros:

Representando os números inteiros através da reta numérica

Temos ainda o conjunto dos Números Racionais, representado por . A letra q é utilizada em referência à palavra “quociente” (o resultado de uma divisão). Isso ocorre porque o conjunto dos números racionais é composto pelos números que são resultados de divisões. Vejamos alguns exemplos:

4 : 2 = 2  

– 10 : 5 = – 2  

1 : 2 = ½  

– 3 : 4 = – ¾  

5 : 3 = 1,666...  

3 : (– 6) = – 0,5  

Portanto, no conjunto dos números racionais, temos os mesmos elementos encontrados nos conjuntos dos naturais e dos inteiros, além de números fracionários, decimais e dízimas periódicas. Podemos então representar o conjunto dos números racionais como:

 = {…, – 1, – ¾, – ½, 0, ½, ¾, 1, …} ou, simplesmente,

 = {^p/_q | p  , q  , q ≠ 0}

Um conjunto numérico bem especial e diferente dos demais é o conjunto dos Números Irracionais, representado por  . Esses números são decimais infinitos que não são resultantes de divisões, mas que podem ser resultados de raiz quadrada, por exemplo, como é o caso do número √2 = 1,414213... A parte decimal dos números irracionais não possui qualquer periodicidade. O conjunto dos números irracionais não abrange os demais conjuntos.

Por fim, temos o conjunto dos Números Reais, representado por . Os números reais englobam todos os outros conjuntos descritos acima.

Lembra-se de como organizamos as frutas no início do texto? Vamos estabelecer a relação existente entre os conjuntos numéricos de forma bem semelhante:

​
Representação da relação existente entre os conjuntos numéricos

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Videoaulas relacionadas: