Operações com frações

As operações com frações nos auxiliam na realização de cálculos importantes envolvendo números que estão na sua representação fracionária. Podemos calcular a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão entre frações. Para somar ou subtrair frações, é importante verificar se os denominadores são iguais ou diferentes.

Quando os denominadores são iguais, basta realizar a adição ou subtração dos numeradores. Se forem diferentes, é preciso igualá-los antes de proceder com a operação. Para isso, pode-se usar o mínimo múltiplo comum (MMC) ou um método prático para obter denominadores equivalentes.

Na multiplicação de frações, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. O resultado será a fração formada pelos produtos obtidos. Para dividir frações, inverte-se a segunda fração (ou seja, troca-se o numerador com o denominador) e, em seguida, realiza-se uma multiplicação normalmente. Dessa forma, a divisão de frações é transformada em uma multiplicação, facilitando a operação. Após obter o resultado, simplifique a fração, se possível.

Leia também: Como simplificar frações?

Resumo sobre operações com frações

• As operações com frações têm métodos diferentes de serem realizadas.
• A adição e a subtração de frações são divididas em dois casos, com denominadores iguais ou com denominadores diferentes.
• Se os denominadores são iguais, basta somar ou subtrair o numerador e conservar o denominador.
• Se os denominadores são diferentes:
  • Encontramos um denominador comum (usando o Mínimo Múltiplo Comum - MMC).
  • Ajustamos os numeradores para que as frações tenham mesmo denominador.
  • Realizamos a adição ou subtração agora que os denominadores são iguais.

• Para multiplicar duas frações, basta multiplicar os numeradores entre si e multiplicar os denominadores entre si e, se possível, simplificar o resultado.

• Na divisão de frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda e simplificamos o resultado.

Videoaula sobre operações entre frações

Como resolver operações com frações?

Realizar as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão entre fações é fundamental para fazer importantes cálculos matemáticos. Cada uma das operações tem um diferente método de ser realizada que será apresentado a seguir.

→ Adição e subtração de frações

Para calcular a adição ou a subtração entre duas frações, podemos dividir entre dois casos: quando os denominadores das frações são iguais e quando os denominadores das frações são diferentes.

• Com denominadores iguais: tanto na adição quanto na subtração, basta realizar a operação com o numerador e conservar o denominador.

Exemplo 1:

\(\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5} \)

Exemplo 2:

\(\frac{6}{8} - \frac{4}{8} = \frac{6 - 4}{8} = \frac{2}{8} \)

• Com denominadores diferentes: para somar ou subtrair, é necessário transformar as frações para que tenham o mesmo denominador. Veja o passo a passo:

Passo 1 - Encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC):

• Calcule o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores das frações.
• O MMC será o novo denominador de ambas as frações.

Passo 2 - Ajustar os numeradores:

• Divida o novo denominador comum pelo denominador original de cada fração.
• Multiplique o resultado pelo numerador correspondente para ajustar as frações.

Passo 3 - Realizar a operação:

• Com os denominadores iguais, adicione ou subtraia os numeradores.
• O denominador permanece o mesmo.

Por fim, caso o numerador e o denominador tenham um fator comum, simplifique a fração dividindo ambos por esse fator.

Exemplo de adição entre frações:

Vamos somar: \(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\)

1. MMC dos denominadores 3 e 4 é 12.
2. Ajustando os numeradores:

Como 12 é o denominador comum, na primeira fração temos que 12 : 3 = 4, e, multiplicando pelo numerador da primeira fração, sabemos que 2 x 4 = 8, logo, a fração equivalente será \(\frac{8}{12}\).

Na segunda fração, temos que 12 : 4 = 3 e 3 x 1 = 3, então a fração equivalente será \(\frac{3}{12}\).

Por fim, realizaremos a soma:

\(\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8 + 3}{12} = \frac{11}{12} \)

Exemplo de subtração entre frações:

Vamos subtrair: \(\frac{7}{8} - \frac{4}{12} \)

1. MMC dos denominadores 8 e 12 é 24.
2. Ajustando os numeradores:

24 : 8 = 3 e 3 x 7 = 21, então a primeira fração será: \(\frac{21}{24}\)

24 : 12 = 2 e 2 x 4 = 8, então a segunda fração será: \(\frac{8}{24}\)

Calculando a subtração:

\(\frac{21}{24} - \frac{8}{24} = \frac{21 - 8}{24} = \frac{13}{24} \)

→ Multiplicação de frações

A multiplicação de frações é uma operação simples, pois, para multiplicar duas frações, calculamos o produto entre o numerador e o produto entre o denominador. Quando possível, simplificamos a fração.

Exemplo:

Calcularemos: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} \)

Calcularemos o numerador 2 ⋅ 6 = 12.

Agora calcularemos o denominador 3 ⋅ 5 = 15.

Então o produto entre as frações será:

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} \)

Note que, nesse caso, podemos simplificar as frações dividindo por 3 o numerador e o denominador:

\(\frac{12^{:3}}{15^{:3}} = \frac{4}{5} \)

→ Divisão de frações

Para calcular a divisão entre duas frações, basta calcular a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração; então, se você aprendeu a multiplicar frações, basta inverter a segunda fração e multiplicar.

Exemplo:

\(\frac{2}{3} : \frac{6}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{18} \)

Note que é possível simplificar dividindo por 2:

\(\frac{10^{:2}}{18^{:2}} = \frac{5}{9}\)

Quais são os tipos de fração?

As frações podem ser classificadas de acordo com as suas características. Os tipos de fração são:

• fração própria;
• fração imprópria;
• fração aparente;
• fração irredutível;
• fração mista.

→ Fração própria

Uma fração é dita própria quando o seu numerador é menor que o denominador.

Exemplos:

• \(\frac{1}{3}\)

• \(\frac{4}{9}\)
• \(\frac {2}{13}\)

→ Fração imprópria

A fração é conhecida como imprópria quando o numerador é maior que o denominador.

Exemplos:

• \(\frac{3}{2}\)
• \(\frac{15}{7}\)
• \(\frac{9}{4}\)

→ Fração aparente

A fração é aparente quando a divisão entre o numerador e o denominador é um número inteiro.

Exemplos:

• \(\frac{15}{3}\)

Sabemos que 15 é divisível por 3, \(\frac{15}{3}\)= 5.

• \(\frac{12}{4}\)

Sabemos que 12 é divisível por 4, \(\frac{12}{4}\)= 3.

→ Fração mista

Fração mista é uma maneira de representar uma fração que tem parte inteira e parte fracionária.

Exemplos:

\(5\frac{2}{7}\)

\(1\frac{1}{4}\)

\(3\frac{5}{12}\)

Saiba mais: Quais são os conjuntos numéricos?

Exercícios resolvidos sobre operações com frações

Questão 1

Em uma empresa, sabe-se que \(\frac{2}{3}\) dos servidores são mulheres. Se, do total de mulheres, \(\frac{1}{5}\) tem menos de 25 anos, então a fração que representa o número de servidores que são mulheres e têm menos de 25 anos pode ser:

A) \(\frac{3}{8}\)
B) \(\frac{2}{5}\)
C) \(\frac{6}{5}\)
D) \(\frac{2}{15}\)
E) \(\frac{3}{12}\)

Resolução:

Alternativa D

Queremos calcular o produto:

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15} \)

Questão 2

Kárita tinha \(\frac{5}{6}\) de um bolo, entretanto, seu filho, Heitor, comeu \(\frac{1}{4}\) desse bolo durante o café da manhã. A fração que representa a quantidade de bolo restante é:

A) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{4}{2}\)
C) \(\frac{7}{12}\)
D) \(\frac{4}{12}\)
E) \(\frac{4}{10}\)

Resolução:

Alternativa C

Calculando a diferença entre as frações, temos que:

\(\frac{5}{6} - \frac{1}{4}\)

Sabemos que o MMC entre 6 e 4 é 12, então temos que:

\(\frac{10 - 3}{12} = \frac {7}{12}\)

Fontes

E.L. Lima; P.C.P. Carvalho; E. Wagner; A.C. Morgado. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 1, 10.ed. 2012.