Radiciação

A radiciação é uma operação matemática, assim como a adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Da mesma maneira que a subtração é a operação inversa da adição e a divisão é a inversa da multiplicação, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, para x e y positivos reais e n inteiro (maior ou igual a 2), se x elevado a n é igual a y, podemos dizer que a raiz enésima de y é igual a x. Em notação matemática: (x^n=yRightarrowsqrt[n]{y}=x).

Leia também: Potenciação e radiciação de frações — como fazer?

Resumo sobre radiciação

• A radiciação é uma operação matemática.

• Radiciação e potenciação são operações inversas, ou seja, para x e y positivos, (x^n=yRightarrowsqrt[n]{y}=x).

• Calcular a raiz enésima de um número y significa encontrar o número x tal que x elevado a n é igual a y.

• A leitura de uma raiz depende do índice n. Se n = 2, chamamos de raiz quadrada, e se n = 3, chamamos de raiz cúbica.

• Nas operações com radicais, utilizamos termos com o mesmo índice.

• A radiciação possui importantes propriedades que facilitam seu cálculo.

Videoaula sobre radiciação

Representação de uma radiciação

Para representar uma radiciação, devemos considerar os três elementos envolvidos: radicando, índice e raiz. O símbolo (√) é chamado de radical.

(sqrt[n]{y}=x)

Nesse exemplo, y é o radicando, n é o índice e x é a raiz. Lê-se “raiz enésima de y é x”. Enquanto x e y representam números reais positivos, n representa um número inteiro igual ou maior que 2. É importante ressaltar que para n = 2, o índice pode ser omitido. Assim, por exemplo, (sqrt[2]{9}=sqrt9).

Podemos representar uma radiciação utilizando o radicando com um expoente fracionário. Formalmente, dizemos que a raiz enésima de (y^m) pode ser escrita como y elevado ao expoente fracionário (rac{m}n).

(sqrt[n]{y^m}=y^rac{m}{n})

Veja os exemplos:

(√5=5^rac{1}{2})

(sqrt[3]{2^4}=2^rac{4}{3})

Diferenças entre radiciação e potenciação

A potenciação e a radiação são operações matemáticas inversas. Isso significa que se (x^n=y), então (sqrt[n]{y}=x). Parece difícil? Vejamos alguns exemplos.

• Se (3^2=9), então (sqrt[2]{9}=3).

• Se (2^3=8), então (sqrt[3]{8}=2).

• Se (5^4=625), então (sqrt[4]{625}=5).

Como ler uma raiz?

Para ler uma raiz, devemos considerar o índice n. Se n = 2, chamamos de raiz quadrada. Se n = 3, chamamos de raiz cúbica. Para valores de n maiores, utilizamos a nomenclatura para números ordinais: raiz quarta (se n = 4), raiz quinta (se n = 5) e assim por diante. Veja alguns exemplos:

• (sqrt[2]{9}) – raiz quadrada de 9.

• (sqrt[3]{8}) – raiz cúbica de 8.

• (sqrt[4]{625}) – raiz quarta de 625.

Como calcular a raiz de um número?

Veremos a seguir como calcular a raiz de um número real positivo. Para calcular a raiz de um número, devemos considerar a operação inversa relacionada. Ou seja, se procuramos a raiz enésima de um número y, devemos procurar um número x tal que (x^n=y).

Dependendo do valor de y (ou seja, do radicando), esse processo pode ser simples ou trabalhoso. Vejamos alguns exemplos de como calcular a raiz de um número.

• Exemplo 1:

Qual a raiz quadrada de 144?

Resolução:

Vamos chamar de x o número procurado, ou seja, (sqrt{144}=x). Perceba que isso significa buscar um número x tal que (x^2=144). Vamos testar algumas possibilidades com números naturais:

(9^2=81)

(10^2=100)

(11^2=121)

(12^2=144)

Portanto, (sqrt{144}=12).

• Exemplo 2:

Qual a raiz cúbica de 100?

Resolução:

Vamos chamar de x o número procurado, ou seja, (sqrt[3]{100}=x). Isso significa que (x^3=100). Vamos testar algumas possibilidades:

(2^3=8)

(3^3=27)

(4^3=64)

(5^3=125)

Observe que procuramos um número que está entre 4 e 5, pois (4^3=64) e (5^3=125). Assim, vamos testar algumas possibilidades com números entre 4 e 5:

(4,1^3=68,921)

(4,2^3=74,088)

(4,3^3=79,507)

(4,4^3=85,184)

(4,5^3=91,125)

(4,6^3=97,336)

(4,7^3=103,823)

Como (4,6^3 ) é um número próximo e inferior a 100, podemos dizer que 4,6 é uma aproximação para a raiz cúbica de 100.  Portanto, (sqrt[3]{100}≈4,6).

Importante: Quando a raiz é um número racional, dizemos que a raiz é exata; caso contrário, a raiz é não exata. No exemplo acima, determinamos um intervalo entre raízes exatas onde a raiz procurada se encontra:

(sqrt[3]{64}<sqrt[3]{100}<sqrt[3]{125})

(4<sqrt[3]{100}<5)

Essa estratégia é muito útil para calcular aproximações de um raiz.

Operações com radicais

Nas operações com radicais, utilizamos termos com o mesmo índice. Considerando isso, leia com atenção as informações a seguir.

→ Adição e subtração entre radicais

Para resolver uma adição ou uma subtração entre radicais, devemos calcular separadamente a raiz de cada radical.

• Exemplos:

(sqrt[3]{27}+sqrt[3]{216}=3+6=9)

(sqrt{400}-sqrt{169}=20-13=7)

Importante: Não é possível operar os radicais nas operações de adição e subtração. Observe que, por exemplo, a operação (sqrt4+sqrt9) resulta em um número diferente de (sqrt{13}), ainda que (4+9=13).

(sqrt4+sqrt9=2+3=5)

(sqrt{13}≈3,6)

→ Multiplicação e divisão entre radicais

Para resolver uma multiplicação ou uma divisão entre radicais, podemos calcular separadamente a raiz de cada radical, mas também podemos utilizar as propriedades de radiciação, que veremos a seguir.

• Exemplos:

(sqrt{121}⋅sqrt{49}=11⋅49=539)

(sqrt[3]{512}÷sqrt[3]{64}=8÷4=2)

Quais as propriedades da radiciação?

→ Propriedade 1 da radiciação

Se y é um número positivo, então a raiz enésima de (y^n) é igual a y.

(sqrt[n]{y^n}=y)

Veja o exemplo:

(sqrt[3]{2^3}=sqrt[3]{8}=2)

Essa propriedade é muito utilizada para simplificar expressões com radicais.

→ Propriedade 2 da radiciação

A raiz enésima do produto (y⋅z) é igual ao produto das raízes enésimas de y e z.

(sqrt[n]{ycdot z}=sqrt[n]{y}cdot sqrt[n]{z})

Veja o exemplo:

(sqrt{36 ⋅ 196}=sqrt{36}⋅sqrt{196}=6⋅14=84)

Importante: Quando calculamos a raiz de um número grande, é muito útil fatorar (decompor) o radicando em números primos e aplicar as propriedades 1 e 2. Veja o exemplo a seguir, no qual queremos calcular (sqrt{7744}):

(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2)

Assim,

(sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=sqrt{2^2}⋅sqrt{2^2}⋅sqrt{2^2}⋅sqrt{11^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88)

→ Propriedade 3 da radiciação

A raiz enésima do quociente (rac{y}z), com (z≠0), é igual ao quociente das raízes enésimas de y e z.

(sqrt[n]{rac{y}{z}}=rac{sqrt[n]{y}}{sqrt[n]{z}})

Veja o exemplo:

(sqrt[a]{rac{125}{64}}=rac{sqrt[3]{125}}{sqrt[3]{64}}=rac{5}4)

→ Propriedade 4 da radiciação

A raiz enésima de y elevada a um expoente m é igual à raiz enésima de (y^m).

((sqrt[n]{y})^m=sqrt[n]{y^m})

Veja o exemplo:

((sqrt[3]{8})^2=sqrt[3]{8^2}=sqrt[3]{64}=4)

Veja também: Quais as propriedades da potenciação?

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

(FGV) Simplificando (2sqrt3+2sqrt12-2sqrt{75}), obtém-se:

A) 0

B) - 23

C) - 43

D) - 63

D) - 83

Resolução:

Alternativa C.

Observe que utilizando as propriedades de radiciação, temos

(2sqrt{12}=2⋅sqrt{3⋅ 4}=2⋅sqrt3⋅sqrt4=2⋅sqrt3⋅2=4sqrt3)

(2sqrt{75}=2⋅sqrt{25⋅3}=2⋅sqrt{25}⋅sqrt3=2⋅5⋅sqrt3=10sqrt3)

Assim, podemos reescrever a expressão do enunciado como

(2sqrt3+4sqrt3-10sqrt3)

Colocando o termo (sqrt3) em evidência, concluímos que

(2sqrt3+4sqrt3-10sqrt3=(2+4-10)⋅sqrt3=-4sqrt3)

Questão 2

(Cefet) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?

A) 2700

B) 2800

C) 2900

D) 3000

Resolução:

Alternativa A.

O número procurado é x. Assim, de acordo com o enunciado,

(sqrt{0,75⋅x}=45)

Portanto,

(0,75⋅x=45^2)

(0,75⋅x=2025)

(x=rac{2025}{0,75})

(x = 2700)