Números complexos

Os números complexos foram criados para possibilitar a resolução de equações que não possuem resultados dentro do conjunto dos números reais, como as equações do segundo grau que apresentam discriminante negativo.

Ideia central dos números complexos

Esse conjunto foi pensado porque, ao tentar resolver uma equação do tipo x³ – 15x – 4 = 0, por exemplo, sabemos que uma de suas raízes é igual a 4, mas não existem métodos válidos para os números reais capazes de encontrar esse resultado. Utilizando a forma conhecida como fórmula de Cardano, chegaríamos ao seguinte impasse:

A ideia central por trás dos números complexos é supor que √(– 1) = i e que esse é um resultado válido para soluções de equações. Assim, poderíamos escrever, por exemplo, que:

Definição formal e forma algébrica

Formalmente, o número complexo z tem a seguinte definição:

z = a + bi

Nessa definição, a e b são números reais, e i = √(– 1). Essa é a forma algébrica dos números complexos, em que a é chamado de parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos de números complexos:

z = 2 + 3i

z = 3 – 9i

z = 4

z = i

Adição e subtração de números complexos

As operações de adição e subtração de números complexos seguem padrão parecido com as mesmas operações envolvendo polinômios. No caso dos números complexos, apenas é permitido operar a parte real com parte real e a parte imaginária com parte imaginária. Matematicamente, isso pode ser representado da seguinte forma, utilizando os complexos u = a + bi e v = c + di:

u + v = a + bi + c + di

u + v = a + c + bi + di

u + v = (a + c) + (b + d)i

Um exemplo é a soma entre z = 2 + 3i e u = 3 – 9i, que seria:

z + u = 2 + 3i + 3 – 9i

z + u = 2 + 3 + 3i – 9i

z + u = 5 – 6i

Multiplicação de números complexos

A multiplicação de números complexos é feita por meio da propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Dessa forma, dados os complexos u = a + bi e v = c + di, teremos:

u·v = (a + bi)·(c + di)

u·v = ac + adi + bci + bdi²

Como i = √(– 1), então i² = [√(– 1)]² = – 1. Assim:

u·v = ac + adi + bci + bdi²

u·v = ac + adi + bci – bd

u·v = ac – bd + adi + bci

u·v = ac – bd + (ad + bc)i

Divisão de números complexos

Todo número complexo possui um conjugado. O conjugado é o próprio número complexo com o sinal da parte imaginária invertido. Então, o conjugado z’ do complexo z = a + bi é z’ = a – bi.

A divisão de números complexos é feita escrevendo esses números na forma de fração. Depois, multiplicamos numerador e denominador dessa fração pelo conjugado do denominador da divisão de complexos. Matematicamente, dados os complexos u = a + bi e v = c + di, teremos:

u = uv’ = (a + bi)(c – di) = ac – adi + bci – bdi² = ac + bd– adi + bci
   v vv’ (c + di)(c – di)                  c² + d²                       c² + d²