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Matemática

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Radiciação

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Encontrar a raiz enésima de um número y significa descobrir o número x tal que x elevado a n seja igual a y.

Representação gráfica do símbolo da radiciação ao lado do escrito “radiciação”. A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação.

A radiciação é uma operação matemática, assim como a adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Da mesma maneira que a subtração é a operação inversa da adição e a divisão é a inversa da multiplicação, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, para x e y positivos reais e n inteiro (maior ou igual a 2), se x elevado a n é igual a y, podemos dizer que a raiz enésima de y é igual a x. Em notação matemática: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).

Leia também: Potenciação e radiciação de frações — como fazer?

Resumo sobre radiciação

  • A radiciação é uma operação matemática.

  • Radiciação e potenciação são operações inversas, ou seja, para x e y positivos, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).

  • Calcular a raiz enésima de um número y significa encontrar o número x tal que x elevado a n é igual a y.

  • A leitura de uma raiz depende do índice n. Se n = 2, chamamos de raiz quadrada, e se n = 3, chamamos de raiz cúbica.

  • Nas operações com radicais, utilizamos termos com o mesmo índice.

  • A radiciação possui importantes propriedades que facilitam seu cálculo.

Videoaula sobre radiciação

Representação de uma radiciação

Para representar uma radiciação, devemos considerar os três elementos envolvidos: radicando, índice e raiz. O símbolo \(√\) é chamado de radical.

\(\sqrt[n]{y}=x\)

Nesse exemplo, y é o radicando, n é o índice e x é a raiz. Lê-se “raiz enésima de y é x”. Enquanto x e y representam números reais positivos, n representa um número inteiro igual ou maior que 2. É importante ressaltar que para n = 2, o índice pode ser omitido. Assim, por exemplo, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).

Podemos representar uma radiciação utilizando o radicando com um expoente fracionário. Formalmente, dizemos que a raiz enésima de \(y^m\) pode ser escrita como y elevado ao expoente fracionário \(\frac{m}n\).

\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)

Veja os exemplos:

\(√5=5^\frac{1}{2}\)

\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)

Diferenças entre radiciação e potenciação

A potenciação e a radiação são operações matemáticas inversas. Isso significa que se \(x^n=y\), então \(\sqrt[n]{y}=x\). Parece difícil? Vejamos alguns exemplos.

  • Se \(3^2=9\), então \(\sqrt[2]{9}=3\).

  • Se \(2^3=8\), então \(\sqrt[3]{8}=2\).

  • Se \(5^4=625\), então \(\sqrt[4]{625}=5\).

Como ler uma raiz?

Para ler uma raiz, devemos considerar o índice n. Se n = 2, chamamos de raiz quadrada. Se n = 3, chamamos de raiz cúbica. Para valores de n maiores, utilizamos a nomenclatura para números ordinais: raiz quarta (se n = 4), raiz quinta (se n = 5) e assim por diante. Veja alguns exemplos:

  • \(\sqrt[2]{9}\) – raiz quadrada de 9.

  • \(\sqrt[3]{8}\) – raiz cúbica de 8.

  • \(\sqrt[4]{625}\) – raiz quarta de 625.

Como calcular a raiz de um número?

Veremos a seguir como calcular a raiz de um número real positivo. Para calcular a raiz de um número, devemos considerar a operação inversa relacionada. Ou seja, se procuramos a raiz enésima de um número y, devemos procurar um número x tal que \(x^n=y\).

Dependendo do valor de y (ou seja, do radicando), esse processo pode ser simples ou trabalhoso. Vejamos alguns exemplos de como calcular a raiz de um número.

  • Exemplo 1:

Qual a raiz quadrada de 144?

Resolução:

Vamos chamar de x o número procurado, ou seja, \(\sqrt{144}=x\). Perceba que isso significa buscar um número x tal que \(x^2=144\). Vamos testar algumas possibilidades com números naturais:

\(9^2=81\)

\(10^2=100\)

\(11^2=121\)

\(12^2=144\)

Portanto, \(\sqrt{144}=12\).

  • Exemplo 2:

Qual a raiz cúbica de 100?

Resolução:

Vamos chamar de x o número procurado, ou seja, \(\sqrt[3]{100}=x\). Isso significa que \(x^3=100\). Vamos testar algumas possibilidades:

\(2^3=8\)

\(3^3=27\)

\(4^3=64\)

\(5^3=125\)

Observe que procuramos um número que está entre 4 e 5, pois \(4^3=64\) e \(5^3=125\). Assim, vamos testar algumas possibilidades com números entre 4 e 5:

\(4,1^3=68,921\)

\(4,2^3=74,088\)

\(4,3^3=79,507\)

\(4,4^3=85,184\)

\(4,5^3=91,125\)

\(4,6^3=97,336\)

\(4,7^3=103,823\)

Como \(4,6^3 \) é um número próximo e inferior a 100, podemos dizer que 4,6 é uma aproximação para a raiz cúbica de 100.  Portanto, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).

Importante: Quando a raiz é um número racional, dizemos que a raiz é exata; caso contrário, a raiz é não exata. No exemplo acima, determinamos um intervalo entre raízes exatas onde a raiz procurada se encontra:

\(\sqrt[3]{64}<\sqrt[3]{100}<\sqrt[3]{125}\)

\(4<\sqrt[3]{100}<5\)

Essa estratégia é muito útil para calcular aproximações de um raiz.

Operações com radicais

Nas operações com radicais, utilizamos termos com o mesmo índice. Considerando isso, leia com atenção as informações a seguir.

→ Adição e subtração entre radicais

Para resolver uma adição ou uma subtração entre radicais, devemos calcular separadamente a raiz de cada radical.

  • Exemplos:

\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)

\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)

Importante: Não é possível operar os radicais nas operações de adição e subtração. Observe que, por exemplo, a operação \(\sqrt4+\sqrt9\) resulta em um número diferente de \(\sqrt{13}\), ainda que \(4+9=13\).

\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)

\(\sqrt{13}≈3,6\)

→ Multiplicação e divisão entre radicais

Para resolver uma multiplicação ou uma divisão entre radicais, podemos calcular separadamente a raiz de cada radical, mas também podemos utilizar as propriedades de radiciação, que veremos a seguir.

  • Exemplos:

\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)

\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)

Quais as propriedades da radiciação?

→ Propriedade 1 da radiciação

Se y é um número positivo, então a raiz enésima de \(y^n\) é igual a y.

\(\sqrt[n]{y^n}=y\)

Veja o exemplo:

\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)

Essa propriedade é muito utilizada para simplificar expressões com radicais.

→ Propriedade 2 da radiciação

A raiz enésima do produto \(y⋅z\) é igual ao produto das raízes enésimas de y e z.

\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)

Veja o exemplo:

\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)

Importante: Quando calculamos a raiz de um número grande, é muito útil fatorar (decompor) o radicando em números primos e aplicar as propriedades 1 e 2. Veja o exemplo a seguir, no qual queremos calcular \(\sqrt{7744}\):

\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)

Assim,

\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)

→ Propriedade 3 da radiciação

A raiz enésima do quociente \(\frac{y}z\), com \(z≠0\), é igual ao quociente das raízes enésimas de y e z.

\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)

Veja o exemplo:

\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)

→ Propriedade 4 da radiciação

A raiz enésima de y elevada a um expoente m é igual à raiz enésima de \(y^m\).

\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)

Veja o exemplo:

\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)

Veja também: Quais as propriedades da potenciação?

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

(FGV) Simplificando \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), obtém-se:

A) 0

B) - 23

C) - 43

D) - 63

D) - 83

Resolução:

Alternativa C.

Observe que utilizando as propriedades de radiciação, temos

\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)

\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)

Assim, podemos reescrever a expressão do enunciado como

\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)

Colocando o termo \(\sqrt3\) em evidência, concluímos que

\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)

Questão 2

(Cefet) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?

A) 2700

B) 2800

C) 2900

D) 3000

Resolução:

Alternativa A.

O número procurado é x. Assim, de acordo com o enunciado,

\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)

Portanto,

\(0,75⋅x=45^2\)

\(0,75⋅x=2025\)

\(x=\frac{2025}{0,75}\)

\(x = 2700\)

Por Maria Luiza Alves Rizzo

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