Qual matéria está procurando ?

Matemática

Matemática

Volume do prisma

O volume de um prisma é calculado pelo produto entre a área da base (cujo formato depende do tipo de prisma) e a altura (a distância entre as bases).

Prisma triangular e prima hexagonal junto de fórmula de cálculo de volume. O cálculo do volume de um prisma é o produto da área da base Ab e da altura h.

Volume do prisma é o espaço ocupado por esse sólido geométrico. Prisma é um poliedro com duas bases congruentes e faces laterais retangulares. O volume de um prisma é o resultado da multiplicação entre a área da base e a altura.

Leia também: Fórmulas de volumes de sólidos geométricos

Resumo sobre volume do prisma

  • O espaço ocupado por um prisma é o seu volume.
  • Um prisma é formado por duas bases congruentes e por faces laterais retangulares.
  • A área de uma das bases do prisma é representada por Ab e a altura, por h.
  • A fórmula do volume de um prisma é:

\(V=A_b\cdot h\)

  • O formato da base (triângulo, quadrado, retângulo, pentágono etc.) determina o tipo de prisma.

Videoaula sobre o volume do prisma

Fórmula do volume do prisma

Considere um prisma com área da base Ab e altura (distância entre as bases) h. Assim, a fórmula do volume do prisma é:

\(V_{\mathrm{prisma}}=A_b\cdot h\)

Portanto, o volume de um prisma é o resultado da multiplicação entre a área de uma das bases e a altura.

Como calcular o volume do prisma?

Para calcular o volume de um prisma, precisamos descobrir duas informações: a área da base e a altura. O cálculo da área da base dependerá de qual polígono compõe a base do prisma, e a altura do prisma é a distância entre as bases.

Vejamos alguns exemplos de como calcular o volume do prisma para diferentes tipos de prismas.

  • Volume do prisma triangular

Um prisma em que as bases são triângulos, como na imagem abaixo, é chamado de triangular.

Prisma triangular

Exemplo: Considere um prisma em que as bases são triângulos equiláteros. Se a aresta da base mede 2 cm e a altura 5 cm, qual o volume desse prisma?

Nesse caso, a área da base é a área de um triângulo equilátero de lado 2 cm. Assim:

\(A_b=\frac{l^2\sqrt3}{4}\)

\(A_b=\frac{2^2\sqrt3}{4}\)

\(A_b=\sqrt3\)

Como a altura h do prisma é 5 cm, segue que o volume desse sólido é:

\(V=A_b\cdot h\)

\(V=5\sqrt3 cm³\)

  • Volume do prisma de base quadrada

Como o nome sugere, as bases nesse tipo de prisma são quadrados.

Prisma quadrangular

Exemplo: Qual o volume de um prisma de 7 cm de altura em que as bases são quadrados com 3 cm de lado?

A área da base desse prisma é a área de um quadrado de lado 3 cm. Assim:

\(A_b=l^2\)

\(A_b=3^2=9 cm²\)

Logo, como h=7 cm, temos que:

\(V=A_b\cdot h\)

\(V=9\cdot7=63 cm³\)

  • Volume do prisma reto de base retangular (paralelepípedo ou bloco retangular)

Um paralelepípedo reto é um prisma com bases retangulares, como indicado na imagem.

Prisma retangular

Exemplo: Qual o volume de prisma com 6 cm de altura em que as bases são retângulos de dimensão 5 cm x 3 cm?

A área da base desse prisma é a área de um retângulo com 5 cm de comprimento e 3 cm de largura. Portanto:

\(A_b=\mathrm{comprimento\ x\ largura}\)

\(A_b=5\cdot3=15 cm²\)

Assim, como a altura h  do prisma é 6 cm, temos que:

\(V=A_b\cdot h\)

\(V=15\cdot6=90 cm³\)

  • Volume do prisma pentagonal

Um prisma em que a base é um pentágono (polígono com 5 lados) é chamado de prisma pentagonal.

Prisma pentagonal

Exemplo: Considere um prisma com 10 cm de altura em que as bases são pentágonos regulares com 5 cm de lado e 3,44 cm de apótema. Qual o volume desse prisma?

Nesse exemplo, a área da base é a área de um pentágono regular com 5 cm de lado e 3,44 cm de apótema. Assim:

\(A_b=5\cdot\left(\frac{l\cdot a}{2}\right)\)

\(A_b=5\cdot\left(\frac{5\cdot3,44}{2}\right)\)

\(A_b=43 cm²\)

Portanto, como a altura h  é igual a 10 cm, temos que:

\(V=A_b\cdot h\)

\(V=43\cdot10=430 cm³\)

Princípio de Cavalieri

Sejam S1 e S2 dois sólidos geométricos de mesma altura h com bases congruentes sobre um plano β. Considere um plano α  arbitrário, paralelo a β , que é secante aos dois sólidos, conforme a imagem.

A região α∩S1 é a interseção do sólido S1 com o plano α  e a região α∩S2 é a interseção do sólido S2 com o plano α .

Se a área de α∩S1 é igual à área de α∩S2, então o volume do sólido S1 é igual ao volume do sólido S2. Esse é o princípio de Cavalieri, um resultado matemático utilizado para a construção de fórmulas para volumes de sólidos geométricos.

Leia também: Como calcular o volume da pirâmide

Exercícios sobre volume do prisma

Questão 1

(Enem) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

a) 5 cm.

b) 6 cm.

c) 12 cm.

d) 24 cm.

e) 25 cm.

Resolução

O volume das barras de chocolates no formato de paralelepípedos é igual ao produto entre a área da base retangular (que é o produto da largura e do comprimento) e a espessura:

\(V_{paralelepípedo}=3⋅18⋅4=216\)

Seja a  a medida da aresta das barras de chocolate em formato de cubo. Como essas barras têm o mesmo volume que as barras em formato de paralelepípedo e o volume de um cubo é a3 , segue que:

\(V_{\mathrm{cubo}}=216\)

\(a^3=216\)

\(a=\sqrt[3]{216}=6\)

Alternativa B

Questão 2

Uma caixa tem o formato de um paralelepípedo reto com dimensões 18 cm x 14 cm x 10 cm. Qual o volume dessa caixa em centímetros cúbicos?

a) 252

b) 262

c) 420

d) 1252

e) 2520

Resolução

A base dessa caixa é um retângulo com 18 centímetros de comprimento e 14 centímetros de largura. Assim:

\(A_b=18\cdot14=252 cm²\)

Como a altura da caixa mede 10 cm, segue que:

\(V=252\cdot10=2520 cm³\)

Alternativa E

Fontes:

DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7ª ed. Santos: Atual, 2013.

TOSE, M. de T. Volume: Princípio de Cavalieri no Ensino Médio. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT), Universidade Estadual Paulista, 2017. Disponível em  http://hdl.handle.net/11449/149744 .

Por Maria Luiza Alves Rizzo

Você pode se interessar também

Matemática

Medidas de volume

Matemática

Paralelepípedo

Matemática

Prisma

Matemática

Volume do cubo

Últimos artigos

Reticências

As reticências são um sinal de pontuação que funciona como uma pequena pausa, usado para criar um efeito especial de hesitação ou de suspense na fala ou na narração.

Brasil Império

O Brasil Império foi o período em que o Brasil foi governado por uma monarquia constitucional. Nesse período, o Brasil teve dois imperadores: Dom Pedro I e Dom Pedro II.

7 Maravilhas do Mundo Antigo

As 7 Maravilhas do Mundo Antigo eram obras arquitetônicas e artísticas extraordinárias que representavam o ápice da engenhosidade e da cultura das civilizações antigas.

Hino da Proclamação da República

O Hino da Proclamação da República é uma canção cívica que foi criada, logo após a proclamação da república, com o intuito de ser o novo Hino Nacional.