O que é função do segundo grau?

Uma função do segundo grau, também conhecida como função quadrática, é definida pela regra a seguir:

y = f(x) = ax² + bx + c

Em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Assim como as funções do primeiro grau, as funções quadráticas também podem ter seu gráfico construído. Entretanto, essa é uma tarefa mais difícil e depende de alguns conhecimentos prévios, que serão discutidos a seguir.

Parábola e sua concavidade

O gráfico da função do segundo grau é uma parábola. A concavidade de uma parábola, que representa uma função do segundo grau, é definida pelo valor numérico do coeficiente a na regra da função. Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a

Na função f(x) = 2x², perceba que a = 2, o qual é um número maior que zero. Portanto, a concavidade da parábola é voltada para cima:

Já na função g(x) = – 2x², perceba que a = – 2, o qual é um número menor que zero. Portanto, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Vértice de uma parábola

Quando uma parábola tem concavidade voltada para cima, um de seus pontos fica mais abaixo de todos os outros. Esse ponto é chamado de vértice. Quando a parábola tem concavidade voltada para baixo, um de seus pontos fica mais acima de todos os outros. Esse ponto é chamado de vértice.

Supondo que o vértice V de uma parábola possui as coordenadas: V = (x_v, y_v), para encontrar o valor numérico delas, podemos usar as seguintes fórmulas:

x_v = – b
        2a

y_v = – Δ
        4a

Em que a, b e Δ são obtidos a partir dos coeficientes da função. Por exemplo, na função f(x) = x² – 6x + 8, teremos as coordenadas de V = (3, – 1), pois:

x_v = – (– 6)
           2

x_v = 6
       2

x_v = 3

Para y_v, devemos calcular primeiramente:

Δ = b² – 4·a·c

Δ = (– 6)² – 4·1·(8)

Δ = 36 – 32

Δ = 4

Agora, usaremos a fórmula para y_v:

y_v = – Δ
        4a

y_v = – 4
         4

y_v = – 1

Raízes de uma função do segundo grau

As raízes de uma função são os valores do domínio relacionados a zero no contradomínio. Em outras palavras, fazemos y ou f(x) = 0 para descobrir os valores de x que tornam essa sentença verdadeira. As raízes de uma função também são os pontos de encontro do gráfico dessa função com o eixo x.

Assim, as coordenadas das raízes definem os pontos A = (x’, 0) e B = (x’’, 0).

Para encontrar as raízes da função do segundo grau, pode-se usar a fórmula de Bháskara ou qualquer outro método capaz de calcular raízes de uma função.

Exemplo: As raízes da função f(x) = x² – 6x + 8 são:

f(x) = x² – 6x + 8

0 = x² – 6x + 8

Δ = b² – 4·a·c

Δ = (– 6)² – 4·1·(8)

Δ= 36 – 32

Δ= 4

x = – b ± √Δ
         2a

x = – (– 6) ± √4
           2

x = 6 ± 2
       2

x’ = 6 + 2 = 8 = 4
     2       2

x’’ = 6 – 2 =  4   = 2
   2         2

S = {2, 4}

E essas raízes são os dois pontos da função: A = (2,0) e B = (4,0)

Ponto de encontro da função com o eixo y

O gráfico de uma função é construído no plano cartesiano. As funções do segundo grau sempre se encontram com o eixo y desse plano no ponto (0,c). Isso significa que a coordenada c da função é o ponto de encontro dela com o eixo y.

Gráfico da função do segundo grau

Para construir o gráfico de uma função do segundo grau, será necessário seguir o passo a passo:

1º – Descobrir sua concavidade;

2º – Encontrar as coordenadas do vértice;

3º – Encontrar as coordenadas das raízes da função;

4º – Encontrar dois pontos “aleatórios” pertencentes à função (se necessário).

Exemplo: Vamos construir o gráfico da função f(x) = x² – 6x + 8 usando esse passo a passo.

1º – A concavidade da parábola é voltada para cima, pois a = 1 > 0.

2º – As coordenadas do vértice são: V = (3, – 1) e os procedimentos para encontrá-las estão descritos acima.

3º – Encontrar as raízes da função. Observe que algumas funções do segundo grau não terão duas raízes reais distintas. Isso acontece quando Δ = 0 ou Δ gráfico.

Assim, nesse exemplo, já podemos marcar os pontos A, B e V, que são as raízes e o vértice. O gráfico dessa função será:

4º – Quando a função não possui duas raízes reais distintas, observe a coordenada x de seu vértice, escolha x = x_v + 1 e x = x_v – 1, coloque esses valores no lugar de x na função e descubra a coordenada y referente a eles. Marque os dois pontos obtidos no plano cartesiano, juntamente com o vértice e desenhe o gráfico.

Exemplo: Na função f(x) = 2x², Δ = 0; x_v = 0 e y_v = 0. Assim, escolheremos x = 1 e x = – 1 para calcular outros dois pontos que não são as raízes e marcá-los no gráfico.

f(x) = 2x²

f(1) = 2·1²

f(1) = 2·1

f(1) = 2

 

f(– 1) = 2·(–1)²

f(– 1) = 2·1

f(– 1) = 2

Então, os pontos A e B dessa função serão: A = (1, 2) e B = (– 1 , 2), e seu gráfico será: