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O que é função do segundo grau?

Clique e descubra o que é uma função do segundo grau, aprenda a calcular suas raízes e seu vértice e a construir seu gráfico.

por Luiz Paulo Moreira Silva
Os gráficos das funções do segundo grau são parábolas Os gráficos das funções do segundo grau são parábolas

Uma função do segundo grau, também conhecida como função quadrática, é definida pela regra a seguir:

y = f(x) = ax2 + bx + c

Em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Assim como as funções do primeiro grau, as funções quadráticas também podem ter seu gráfico construído. Entretanto, essa é uma tarefa mais difícil e depende de alguns conhecimentos prévios, que serão discutidos a seguir.

Parábola e sua concavidade

O gráfico da função do segundo grau é uma parábola. A concavidade de uma parábola, que representa uma função do segundo grau, é definida pelo valor numérico do coeficiente a na regra da função. Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Na função f(x) = 2x2, perceba que a = 2, o qual é um número maior que zero. Portanto, a concavidade da parábola é voltada para cima:

Já na função g(x) = – 2x2, perceba que a = – 2, o qual é um número menor que zero. Portanto, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Vértice de uma parábola

Quando uma parábola tem concavidade voltada para cima, um de seus pontos fica mais abaixo de todos os outros. Esse ponto é chamado de vértice. Quando a parábola tem concavidade voltada para baixo, um de seus pontos fica mais acima de todos os outros. Esse ponto é chamado de vértice.

Supondo que o vértice V de uma parábola possui as coordenadas: V = (xv, yv), para encontrar o valor numérico delas, podemos usar as seguintes fórmulas:

xv = – b
        2a

yv = – Δ
        4a

Em que a, b e Δ são obtidos a partir dos coeficientes da função. Por exemplo, na função f(x) = x2 – 6x + 8, teremos as coordenadas de V = (3, – 1), pois:

xv = – (– 6)
           2

xv = 6
       2

xv = 3

Para yv, devemos calcular primeiramente:

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 6)2 – 4·1·(8)

Δ = 36 – 32

Δ = 4

Agora, usaremos a fórmula para yv:

yv = – Δ
        4a

yv = 4
         4

yv = – 1

Raízes de uma função do segundo grau

As raízes de uma função são os valores do domínio relacionados a zero no contradomínio. Em outras palavras, fazemos y ou f(x) = 0 para descobrir os valores de x que tornam essa sentença verdadeira. As raízes de uma função também são os pontos de encontro do gráfico dessa função com o eixo x.

Assim, as coordenadas das raízes definem os pontos A = (x’, 0) e B = (x’’, 0).

Para encontrar as raízes da função do segundo grau, pode-se usar a fórmula de Bháskara ou qualquer outro método capaz de calcular raízes de uma função.

Exemplo: As raízes da função f(x) = x2 – 6x + 8 são:

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f(x) = x2 – 6x + 8

0 = x2 – 6x + 8

Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 6)2 – 4·1·(8)

Δ= 36 – 32

Δ= 4

x = – b ± √Δ
         2a

x = – (– 6) ± √4
           2

x = 6 ± 2
       2

x’ = 6 + 2 = 8 = 4
     2       2

x’’ = 6 – 2 =  4   = 2
   2         2

S = {2, 4}

E essas raízes são os dois pontos da função: A = (2,0) e B = (4,0)

Ponto de encontro da função com o eixo y

O gráfico de uma função é construído no plano cartesiano. As funções do segundo grau sempre se encontram com o eixo y desse plano no ponto (0,c). Isso significa que a coordenada c da função é o ponto de encontro dela com o eixo y.

Gráfico da função do segundo grau

Para construir o gráfico de uma função do segundo grau, será necessário seguir o passo a passo:

1º – Descobrir sua concavidade;

2º – Encontrar as coordenadas do vértice;

3º – Encontrar as coordenadas das raízes da função;

4º – Encontrar dois pontos “aleatórios” pertencentes à função (se necessário).

Exemplo: Vamos construir o gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 8 usando esse passo a passo.

1º – A concavidade da parábola é voltada para cima, pois a = 1 > 0.

2º – As coordenadas do vértice são: V = (3, – 1) e os procedimentos para encontrá-las estão descritos acima.

3º – Encontrar as raízes da função. Observe que algumas funções do segundo grau não terão duas raízes reais distintas. Isso acontece quando Δ = 0 ou Δ < 0. Somente nesses casos será necessário fazer o 4º passo, pois não teremos pontos suficientes para orientar a construção do gráfico.

Assim, nesse exemplo, já podemos marcar os pontos A, B e V, que são as raízes e o vértice. O gráfico dessa função será:

4º – Quando a função não possui duas raízes reais distintas, observe a coordenada x de seu vértice, escolha x = xv + 1 e x = xv – 1, coloque esses valores no lugar de x na função e descubra a coordenada y referente a eles. Marque os dois pontos obtidos no plano cartesiano, juntamente com o vértice e desenhe o gráfico.

Exemplo: Na função f(x) = 2x2, Δ = 0; xv = 0 e yv = 0. Assim, escolheremos x = 1 e x = – 1 para calcular outros dois pontos que não são as raízes e marcá-los no gráfico.

f(x) = 2x2

f(1) = 2·12

f(1) = 2·1

f(1) = 2

 

f(– 1) = 2·(–1)2

f(– 1) = 2·1

f(– 1) = 2

Então, os pontos A e B dessa função serão: A = (1, 2) e B = (– 1 , 2), e seu gráfico será:

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