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Coordenadas do vértice da parábola

Descubra o que são as coordenadas do vértice de uma parábola e saiba com obtê-las por meio de duas fórmulas, uma para xv e outra para yv. Conheça também um método alternativo que utiliza as raízes da função do segundo grau para encontrar essas coordenadas. Clique aqui e aprenda mais sobre esse tema!

por Luiz Paulo Moreira Silva
Equação usada como regra das funções do segundo grau, que são representadas por parábolas no gráfico Equação usada como regra das funções do segundo grau, que são representadas por parábolas no gráfico

As funções do segundo grau podem ser representadas no plano cartesiano por meio de parábolas. O vértice de uma parábola é o ponto mais alto dela quando sua concavidade está voltada para baixo ou é o ponto mais baixo quando a concavidade está voltada para cima. Como estamos falando de funções no plano cartesiano, podemos pensar em coordenadas do vértice da parábola, que são dadas pelas seguintes equações:

xv = – b
        2a

yv = – Δ
        4a

Nessas fórmulas, xv e yv são as coordenadas do vértice V(xv, yv). Além dessas duas formas, também existe um método que faz uso das raízes da função para encontrar as coordenadas do vértice. Esse método também pode ser usado para demonstrar essas fórmulas.

Método das raízes

Para encontrar as coordenadas do vértice de uma parábola, tendo como base essa figura no plano cartesiano ou a própria função que a representa, podemos utilizar um método baseado em suas raízes, que consiste em fazer o seguinte:

1 – Determinar as raízes x1 e x2 da função;

2 – Encontrar o ponto médio do segmento cujas extremidades são as raízes x1 e x2. Esse ponto médio é justamente a coordenada xv do vértice.

3 – Encontrar o valor da função no ponto xv, ou seja, calcular f(xv) tem como resultado o valor da coordenada yv do vértice.

Exemplo: Observe a parábola da figura a seguir, que representa a função f(x) = x2 – 16.

Sabendo que as raízes de uma função são os valores de x que fazem f(x) = 0, então as raízes dessa parábola são 4 e – 4. O ponto médio do segmento AB, cujas extremidades são as raízes, é justamente o ponto C cuja coordenada x coincide com a coordenada xv do vértice. Essa regra é válida para toda parábola que possui raízes.

Para encontrar a coordenada yv do vértice, devemos calcular f(xv):

f(x) = x2 – 16

yv = f(xv) = (xv)2 – 16

yv = (0)2 – 16

yv = – 16

Observando o gráfico, podemos perceber que esse valor obtido coincide com a coordenada yv do vértice.

Esse cálculo sempre pode ser feito quando a função do segundo grau apresenta raízes. Para saber se uma função do segundo grau possui raízes, basta avaliar o valor do seu discriminante. Se ele não for negativo, a função possui raízes. Para esse cálculo, podemos observar o valor das raízes no gráfico da função, entretanto, quando não houver gráfico, podemos usar a fórmula de Bháskara para descobrir seus valores.

Quando a função não possui raízes, basta usar as fórmulas dadas no início deste artigo para descobrir as coordenadas do vértice.

Exemplo

Quais as coordenadas do vértice da função: f(x) = x2 – 12x + 20?

Solução: Como essa função possui raízes, as coordenadas de seu vértice podem ser encontradas por meio do método das raízes. Entretanto, usaremos as seguintes fórmulas:

xv = – b
        2a

xv = – (– 12)
             2   

xv = 12
        2

xv = 6

 

yv = – (b2 – 4·a·c)
               4a      

yv = – ([– 12]2 – 4·1·[20])
                     4          

yv = – (144 – 80)
                4     

yv = – (64)
           4

yv = – 16

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