Discriminante

Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais chamados de coeficientes e x é um número real desconhecido chamado de incógnita. Para resolver esse tipo de equação, isto é, para encontrar os valores de x, um dos métodos mais usados é a fórmula de Bháskara. A primeira etapa do cálculo dos valores de x, por meio da fórmula de Bháskara, é encontrar o discriminante da equação.

O discriminante é a parte da fórmula de Bháskara que está sob a raiz quadrada e é apresentado pela seguinte fórmula.

Δ = b² – 4ac

Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. A letra grega Δ (delta) é usada para representar o discriminante de uma equação do segundo grau.

O segundo passo para a resolução de uma equação do segundo grau é utilizar a fórmula de Bháskara:

x = – b ± √Δ
           2a

Existem outras aplicações para os discriminantes dentro das equações e funções do segundo grau que serão discutidos a seguir.

Quantidade de soluções reais

Para saber se uma equação do segundo grau possui resultados reais distintos, apenas uma solução real ou nenhuma, não é necessário resolvê-la até o ponto de encontrar suas soluções. É possível descobrir a quantidade de raízes reais de uma equação do segundo grau somente observando seu discriminante.

Para isso, observe o seguinte: na fórmula de Bháskara, há um sinal “±” antes da raiz do discriminante. Isso significa que essa raiz terá um resultado positivo e um negativo. Entretanto, não é possível encontrar raízes de números negativos. Assim, podemos fazer a seguinte análise:

1 – Se o discriminante for negativo, não é possível calcular sua raiz e, portanto, não é possível resolver a equação do segundo grau dentro do conjunto dos números rais. Em outras palavras:

Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.

2 – Se o discriminante for igual a zero, com a parcela ± √Δ = 0, resta para solução da equação o resultado único – b/2a. Em outras palavras:

Se Δ = 0, então a equação possui uma raiz real.

3 – Se o discriminante é maior que zero, é o caso em que a equação do segundo grau possui duas raízes reais e distintas. Em outras palavras:

Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais.

Interpretando funções do segundo grau

Para as funções do segundo grau, valem as mesmas afirmações anteriores, que são elas:

Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.

Se Δ = 0, então a equação possui uma raiz real.

Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais.

Entretanto, vale lembrar que as raízes de uma função do segundo grau são os pontos de encontro entre o gráfico dessa função e o eixo x do plano cartesiano. Aliando o discriminante à concavidade da parábola, podemos determinar os intervalos nos quais a função é crescente, decrescente ou nula. Isso é chamado de estudo dos sinais da função do segundo grau.

1 – A função é nula nas raízes.

2 – Se a > 0 e Δ > 0, temos uma função com dois pontos de encontro com o eixo x, que tem concavidade voltada para cima. Assim, o intervalo entre as raízes é negativo, e o intervalo fora delas é positivo.

3 – Se a < 0 e Δ > 0, temos uma função com dois pontos de encontro com o eixo x (duas raízes) e concavidade voltada para baixo. Assim, o intervalo entre as raízes é positivo e fora delas é negativo.

3 – Se a > 0 e Δ = 0, então a função possui apenas um ponto de encontro com o eixo x e concavidade voltada para cima, portanto é toda positiva, exceto na raiz, onde é neutra.

4 – Se a < 0 e Δ = 0, então a função é toda negativa, pois possui apenas um ponto de encontro com o eixo x e concavidade voltada para baixo.

5 – Se a > 0 e Δ < 0, então a função é toda positiva, pois não possui pontos de encontro com o eixo x e sua concavidade é voltada para cima.

6 – Se a < 0 e Δ < 0, a função é toda negativa, pois não possui pontos de encontro com o eixo x e sua concavidade é voltada para baixo.