Números primos

Chamamos de número primo um número natural que possui dois divisores: 1 e ele mesmo. Para encontrar números primos, foi desenvolvido o crivo de Eratóstenes. Quando um número não é primo, podemos escrevê-lo como a multiplicação de números primos, processo esse chamado de fatoração.

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Como saber se um número é primo?

A busca por números primos é bastante comum na Matemática. Quando dividimos um número por outro e o resultado é exato, ou seja, não deixa resto, esse número é chamado de divisor. Para identificar se um número é primo ou não, precisamos conhecer quais são os divisores desse número. Caso esse número tenha exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo, ele é primo; caso contrário, não é primo.

• Exemplo

O número 12 não é primo, pois os números que dividem o 12 são:

D(12) = 1,2,3,4,6 e 12

Já o número 17 é primo, pois os divisores de 17 são:

D(17) = 1, 17.

Crivo de Eratóstenes

Encontrar números primos nem sempre é uma tarefa fácil. O método mais usado para essa tarefa é o crivo de Eratóstenes, o qual permite encontrar todos os números primos entre dois números.

Vamos, por exemplo, encontrar os números primos de 1 até 100 utilizando esse método.

Listaremos todos os números de 1 até 100 de forma organizada. Veja:

Sabemos que 1 possui só 1 divisor, então ele não é primo. Sabemos também que 2 possui 2 divisores, 1 e ele mesmo, então 2 é primo. Agora os demais números pares são todos divisíveis por 2, então eles não são primos. Assim, vamos marcar todos os outros números pares e o número 1 na lista.

Dos números que restaram em preto, sabemos que 3 possui só dois divisores, logo ele é primo. Porém, os números múltiplos de 3, como o 6,9,12,15 …, não são primos. Marcaremos agora todos os números múltiplos de 3 que restaram na lista.

Sabemos que o número 5 é primo, mas os múltiplos de 5 (que são os números terminados em 5 ou 0) não são, pois 5 é divisor desses números. Então vamos marcar esses números também.

O número 7 é primo. Usando o mesmo raciocínio, marcaremos os múltiplos de 7 que ainda não foram assinalados.

Agora sabendo que 11 é primo, vamos procurar os números múltiplos de 11, como não há nenhum número múltiplo de 11, sabemos que terminamos o crivo.

Os números restantes são primos, então os primos de 1 até 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Observação: Caso queiramos encontrar os primos entre números maiores, como os primos de 1 até 200 ou de 1 até 500, o processo continuará até encontrarmos um número primo que não possui nenhum múltiplo a ser riscado na tabela.

Veja também: Critérios de divisibilidade – processos que facilitam a operação de divisão

Fatoração

Um número que não é primo pode ser fatorado, ou seja, podemos realizar o que chamamos de decomposição de fatores primos. Esse processo é útil para calcular o MMC e o MDC.

Para fazer a decomposição, faremos divisões sucessivas do número até resultar em 1.

• Exemplo

Então a decomposição de 72 em fatores primos é 2³.3².

Números primos de 1 até 1000

Conheça todos os números primos que existem entre 1 e 1000.

Exercícios resolvidos sobre números primos

Questão 1 - A decomposição em fatores primos do número 720 é igual a?

A) 2³. 3². 5

B)2². 3³ . 5

C) 2 . 3. 5

D)2² . 3. 5³

Resolução

Alternativa A.

Realizando a fatoração, temos que:

Questão 2 - Marque a afirmativa correta:

A) Todo número ímpar é primo.

B) Todo número par não é primo.

C) 2 é o único número par que é primo.

D) 9 é o único número ímpar que não é primo.

Resolução

Alternativa C.
a) Falsa, pois existem números primos e números não primos ímpares. Por exemplo, 3 é primo, mas 15 não.

b) Falsa, pois existe um único número par que é primo, o número 2.

c) Verdadeira, pois 2 é o único número par que é primo.

d) Falsa, pois existem vários outros números ímpares que não são primos, como o 15 citado, o 21, o 39, entre outros.