Triângulo retângulo
O triângulo retângulo possui um ângulo interno medindo 90°, ou seja, ele possui um ângulo reto. O estudo desse tipo de triângulo é muito importante, pois, com ele, resolve-se uma série de problemas práticos por meio de ferramentas importantes, como o teorema de Pitágoras e a trigonometria.
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Principais características do triângulo retângulo
Sabe-se que um triângulo retângulo possui apenas um ângulo interno medindo 90°. Além dessa característica, podemos mostrar que os demais ângulos internos são menores que 90°.
Considere o triângulo retângulo ABC:
Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, assim temos:
α + β + 90° = 180°
α + β = 180° – 90°
α + β = 90°
Observe que a soma dos ângulos α e β resulta em 90°, isso significa que cada um deles deve ser menor que 90°, uma vez que não podem ser iguais a zero.
Devemos atentar para as nomenclaturas utilizadas daqui para frente. O maior lado do triângulo retângulo é chamado de hipotenusa. Os demais lados são chamados de catetos.
A fim de diferenciar os catetos entre si, vamos estabelecer a seguinte regra: o cateto que se encontra de frente a determinado ângulo, será chamado de cateto oposto; e o cateto que está ao lado de determinado ângulo, será chamado de cateto adjacente.
Logo, em relação ao ângulo α, temos:
a → cateto oposto
c → cateto adjacente
Em relação ao ângulo β, temos:
c → cateto oposto
a → cateto adjacente
Observe também que a hipotenusa é sempre fixa, somente os catetos recebem essa diferenciação em sua nomenclatura.
Teorema de Pitágoras
O triângulo retângulo possui uma importante relação algébrica que associa a medida da hipotenusa com as medidas dos catetos. Essa relação é conhecida como teorema de Pitágoras, e, na verdade, trata-se da condição de existência de um triângulo retângulo, isto é: se o teorema de Pitágoras é válido, o triângulo é retângulo, e vice e versa.
“O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”
Leia mais: Teorema de Pitágoras – como aplicar?
Trigonometria no triângulo retângulo
Vimos anteriormente que, em um triângulo retângulo, dois ângulos internos são agudos, ou seja, possuem amplitude menor que 90°. Agora vamos determinar as medidas do seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
- Seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
- Cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
- Tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e cateto adjacente.
Veja agora os valores do seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo. Observe que os valores do seno, cosseno e tangente mudam dependendo do ângulo de referência:
Em relação ao ângulo α, temos:
Em relação ao ângulo β, temos:
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (PUC-RS) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura:
A distância entre M e N é aproximadamente:
a) 4,2 m
b) 4,5 m
c) 5,9 m
d) 6,5 m
e) 8,5 m
Resolução
Alternativa c.
Veja que, para determinar a distância entre os pontos M e N, é necessário primeiramente descobrir a medida do cateto. Em seguida, veja que precisamos determinar a medida do cateto adjacente ao ângulo de 30° e que foi dada a hipotenusa. A relação trigonométrica que envolve cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno.
Sabemos que √3 ≈ 1,7. Portanto, a bola percorre:
1,5 + 2√3 +1
1,5 + 2(1,7) +1
1,5 + 3,4 + 1
4,9 + 1
5,9 m
Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?
Resolução
Inicialmente vamos determinar a medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. Assim:
Visualizando somente o triângulo menor, veja que temos o cateto oposto ao ângulo de 60° e que precisamos determinar o valor do cateto adjacente. Para isso, devemos utilizar a tangente do ângulo.