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Triângulo retângulo

O triângulo retângulo possui um ângulo interno medindo 90°, ou seja, ele possui um ângulo reto. O estudo desse tipo de triângulo é muito importante, pois, com ele, resolve-se uma série de problemas práticos por meio de ferramentas importantes, como o teorema de Pitágoras e a trigonometria.

Leia também: Classificação de triângulos – critérios e nomes

Principais características do triângulo retângulo

Sabe-se que um triângulo retângulo possui apenas um ângulo interno medindo 90°. Além dessa característica, podemos mostrar que os demais ângulos internos são menores que 90°.

Considere o triângulo retângulo ABC:

Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, assim temos:

α + β + 90° = 180°

α + β = 180° – 90°

α + β = 90°

Observe que a soma dos ângulos α e β resulta em 90°, isso significa que cada um deles deve ser menor que 90°, uma vez que não podem ser iguais a zero.

Devemos atentar para as nomenclaturas utilizadas daqui para frente. O maior lado do triângulo retângulo é chamado de hipotenusa. Os demais lados são chamados de catetos.

A fim de diferenciar os catetos entre si, vamos estabelecer a seguinte regra: o cateto que se encontra de frente a determinado ângulo, será chamado de cateto oposto; e o cateto que está ao lado de determinado ângulo, será chamado de cateto adjacente.

Logo, em relação ao ângulo α, temos:

a → cateto oposto

c → cateto adjacente

Em relação ao ângulo β, temos:

c → cateto oposto

a → cateto adjacente

Observe também que a hipotenusa é sempre fixa, somente os catetos recebem essa diferenciação em sua nomenclatura.

Teorema de Pitágoras

O triângulo retângulo possui uma importante relação algébrica que associa a medida da hipotenusa com as medidas dos catetos. Essa relação é conhecida como teorema de Pitágoras, e, na verdade, trata-se da condição de existência de um triângulo retângulo, isto é: se o teorema de Pitágoras é válido, o triângulo é retângulo, e vice e versa.

“O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

Leia mais: Teorema de Pitágoras – como aplicar?

Trigonometria no triângulo retângulo

Vimos anteriormente que, em um triângulo retângulo, dois ângulos internos são agudos, ou seja, possuem amplitude menor que 90°. Agora vamos determinar as medidas do seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.

  • Seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
  • Cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
  • Tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e cateto adjacente.

Veja agora os valores do seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo. Observe que os valores do seno, cosseno e tangente mudam dependendo do ângulo de referência:

Em relação ao ângulo α, temos:

Em relação ao ângulo β, temos:

O triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90°.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (PUC-RS) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura:

A distância entre M e N é aproximadamente:

a) 4,2 m

b) 4,5 m

c) 5,9 m

d) 6,5 m

e) 8,5 m

Resolução

Alternativa c.

Veja que, para determinar a distância entre os pontos M e N, é necessário primeiramente descobrir a medida do cateto. Em seguida, veja que precisamos determinar a medida do cateto adjacente ao ângulo de 30° e que foi dada a hipotenusa. A relação trigonométrica que envolve cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno.

Sabemos que √3 ≈ 1,7. Portanto, a bola percorre:

1,5 + 2√3 +1

1,5 + 2(1,7) +1

1,5 + 3,4 + 1

4,9 + 1

5,9 m
 

Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?

Resolução

Inicialmente vamos determinar a medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. Assim:

Visualizando somente o triângulo menor, veja que temos o cateto oposto ao ângulo de 60° e que precisamos determinar o valor do cateto adjacente. Para isso, devemos utilizar a tangente do ângulo.

Por Robson Luiz

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