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Razão e proporção

Clique para aprender sobre a relação que existe entre razão e proporção!

Estudos a respeito de proporção envolvem conhecimentos sobre razão e dão base para a regra de três Estudos a respeito de proporção envolvem conhecimentos sobre razão e dão base para a regra de três

Razão e proporção são conceitos que estão intimamente ligados. Dizemos que existe uma proporção ao observar duas ou mais razões e construir uma relação entre elas.

O conceito de razão está relacionado com o conceito de divisão. Dizemos que a razão entre os números A e B é o quociente A : B, ou seja, o resultado da divisão de A por B é chamado de razão. A representação de uma razão pode ser A : B, A/B, o próprio resultado ou o mais usual:


A
B

A é o numerador e B é o denominador. Como exemplo, a razão entre os números 20 e 5 pode ser escrita: 20:5, 20/5 ou

20
5

e tem como resultado o número 4. Logo, 4 é a razão entre 20 e 5.

Outro exemplo de razão é a porcentagem. Porcentagem é uma razão que tem o denominador igual a 100.

Proporção:

Quando duas razões têm o mesmo resultado, elas são chamadas de proporção. Portanto, tem-se uma proporção quando é observada a igualdade entre duas ou mais razões. Assim, se a razão entre A e B é igual à razão entre os números C e D, dizemos que a seguinte igualdade é uma proporção:

A = C
B    D

Nesse caso, leia essa igualdade da seguinte maneira: A está para B assim como C está para D. É importante dizer ainda que A e D são chamados extremos das proporções e B e C são chamados meios.

Propriedades:

1 – Em toda proporção, o produto entre os extremos é igual ao produto entre os meios, ou seja, se

A = C
B    D

Então

A·D = B·C

Essa é a técnica utilizada para o cálculo de proporções quando se tem apenas três dos números acima e é necessário descobrir o quarto. Por essa razão, esse cálculo é chamado de regra de três.

2 – Em toda proporção, é possível trocar os extremos de lugar. Dessa maneira, as igualdades a seguir são verdadeiras.

A = C
B    D

D = C
B    A

3 – Em toda proporção, é possível trocar os meios de lugar. Essa propriedade funciona exatamente como a anterior.

4 – Em toda proporção, é possível inverter as duas razões ou trocá-las de lugar. Portanto, as igualdades abaixo são verdadeiras e equivalentes.

A = C
B    D

B = D
A    C

D = B
C    A

A imagem abaixo é resultado de proporções e de suas propriedades. Ela é feita a partir de uma curva, chamada proporção áurea. Os povos antigos acreditavam que qualquer imagem feita tendo como base a proporção áurea seria uma imagem perfeita. Por isso, essa curva acabou sendo utilizada como sinônimo de perfeição.


Representação geométrica de proporção utilizada como sinônimo de perfeição

Isso ocorre porque a construção da proporção áurea é feita com base em retângulos. A proporção em que essa curva “corta” cada retângulo é sempre a mesma.

Grandezas:

Grandeza é qualquer coisa que pode ser medida ou contada. Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando duas razões entre elas, tomadas respeitando a mesma ordem, são iguais. Por exemplo: em uma fábrica, 6 funcionários produzem 70 sapatos por dia. Em dois dias, serão 140 sapatos produzidos, pois, dobrando o tempo de trabalho, dobra-se a produção. Dessa maneira, a razão de sapatos produzidos por dias trabalhados pode ser escrita:

70 = 140 = 70
1       2         

Cálculos:

Com esse conhecimento, é possível descobrir um valor de duas grandezas proporcionais tendo apenas outros três valores em mãos. Por exemplo: em uma fábrica, 70 funcionários produzem 400 sapatos por hora. Quantos funcionários serão necessários para produzir 1600 sapatos por hora?

Escreva a proporção: 70 funcionários está para 400 sapatos assim como x funcionários está para 1600 sapatos. O número de funcionários necessários para a nova produção de sapatos é desconhecido e, por isso, representado pela letra x.

70  =   x  
400   1600

Lembre-se: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, portanto:

70·1600 = 400x

400x = 112000

x = 112000
     400

x = 280

Serão necessários 280 funcionários para a produção de 1600 sapatos.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Por Luiz Paulo Moreira Silva

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