Termo geral da PA

O termo geral (a_n) de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para determinar um elemento dessa progressão quando conhecemos a posição (n) desse elemento, o primeiro termo (a₁) e a razão (r) da PA. Essa fórmula é:

a_n = a₁ + (n – 1)r

Para encontrar a fórmula do termo geral da progressão aritmética, daremos um exemplo, usando uma PA, de como os termos dessa sequência podem ser escritos em função do primeiro termo e de sua razão para depois fazer o mesmo com uma PA qualquer.

Veja também: Números reais
 

Razão e primeiro termo de uma PA

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que qualquer elemento é resultado da soma de seu sucessor com uma constante chamada razão. Em outras palavras, a diferença entre dois termos consecutivos em uma PA é sempre igual a uma constante. O primeiro termo, obviamente, não possui antecessor, por isso, não pode ser resultado da soma do anterior com a razão.

Tendo isso em mente, observe os elementos da PA a seguir:

a₁ = 10

a₂ = 13

a₃ = 16

a₄ = 19

…

A razão dessa PA é 3, e seu primeiro elemento é 10. Podemos escrever todos os seus elementos como resultado do primeiro somado com a razão determinado número de vezes. Observe:

a₁ = 10

a₂ = 10 + 3

a₃ = 10 + 3 + 3

a₄ = 10 + 3 + 3 + 3

…

Observe que o número de vezes que a razão é somada ao primeiro termo é sempre igual ao índice do termo da PA menos 1. Por exemplo, a₃ = 10 + 3·2 = 10 + 3·(3 – 1). Nesse exemplo, o índice é 3, e o número de vezes que somamos a razão é 3 – 1 = 2. Dessa maneira, podemos escrever:

a₁ = 10 + 0·3

a₂ = 10 + 1·3

a₃ = 10 + 2·3

a₄ = 10 + 3·3

…

Assim, para encontrar o vigésimo termo dessa PA, podemos fazer:

a₂₀ = 10 + 3·(20 – 1)

a₂₀ = 10 + 3·19

a₂₀ = 67

Termo geral da PA

Usando o mesmo raciocínio, mas com uma PA qualquer, podemos determinar a fórmula do termo geral da PA. Para isso, considere a PA qualquer de termos:

(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, …)

Sabendo que cada elemento é igual ao primeiro somado ao produto da razão pela posição desse elemento menos 1, podemos escrever:

a₁ = a₁

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₁ + 2r

a₄ = a₁ + 3r

…

Podemos concluir que o termo a_n dessa PA é dado por:

a_n = a₁ + (n – 1)r

Exemplo

Determine o centésimo termo da PA: (1, 7, 14, 21, …).

Usando a fórmula do termo geral, teremos:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₁₀₀ = 1 + (100 – 1)7

a₁₀₀ = 1 + (99)7

a₁₀₀ = 1 + 693

a₁₀₀ = 694

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: