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O termo geral (an) de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para determinar um elemento dessa progressão quando conhecemos a posição (n) desse elemento, o primeiro termo (a1) e a razão (r) da PA. Essa fórmula é:
an = a1 + (n – 1)r
Para encontrar a fórmula do termo geral da progressão aritmética, daremos um exemplo, usando uma PA, de como os termos dessa sequência podem ser escritos em função do primeiro termo e de sua razão para depois fazer o mesmo com uma PA qualquer.
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Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que qualquer elemento é resultado da soma de seu sucessor com uma constante chamada razão. Em outras palavras, a diferença entre dois termos consecutivos em uma PA é sempre igual a uma constante. O primeiro termo, obviamente, não possui antecessor, por isso, não pode ser resultado da soma do anterior com a razão.
Tendo isso em mente, observe os elementos da PA a seguir:
a1 = 10
a2 = 13
a3 = 16
a4 = 19
…
A razão dessa PA é 3, e seu primeiro elemento é 10. Podemos escrever todos os seus elementos como resultado do primeiro somado com a razão determinado número de vezes. Observe:
a1 = 10
a2 = 10 + 3
a3 = 10 + 3 + 3
a4 = 10 + 3 + 3 + 3
…
Observe que o número de vezes que a razão é somada ao primeiro termo é sempre igual ao índice do termo da PA menos 1. Por exemplo, a3 = 10 + 3·2 = 10 + 3·(3 – 1). Nesse exemplo, o índice é 3, e o número de vezes que somamos a razão é 3 – 1 = 2. Dessa maneira, podemos escrever:
a1 = 10 + 0·3
a2 = 10 + 1·3
a3 = 10 + 2·3
a4 = 10 + 3·3
…
Assim, para encontrar o vigésimo termo dessa PA, podemos fazer:
a20 = 10 + 3·(20 – 1)
a20 = 10 + 3·19
a20 = 67
Usando o mesmo raciocínio, mas com uma PA qualquer, podemos determinar a fórmula do termo geral da PA. Para isso, considere a PA qualquer de termos:
(a1, a2, a3, a4, a5, …)
Sabendo que cada elemento é igual ao primeiro somado ao produto da razão pela posição desse elemento menos 1, podemos escrever:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 3r
…
Podemos concluir que o termo an dessa PA é dado por:
an = a1 + (n – 1)r
Determine o centésimo termo da PA: (1, 7, 14, 21, …).
Usando a fórmula do termo geral, teremos:
an = a1 + (n – 1)r
a100 = 1 + (100 – 1)7
a100 = 1 + (99)7
a100 = 1 + 693
a100 = 694
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: