Domínio, contradomínio e imagem

Domínio, contradomínio e imagem são conjuntos numéricos usados para definir as funções. Nesses conjuntos, existem dois tipos de variável: as independentes, que podem assumir qualquer valor pertencente ao domínio, e as dependentes, que podem assumir qualquer valor pertencente ao contradomínio. Para compreender bem os conceitos de domínio, contradomínio e imagem, é importante conhecer os conceitos de função, variáveis e conjuntos, que serão discutidos a seguir.

Funções

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento do conjunto A a um único elemento do conjunto B. Em outras palavras, uma função é uma equação que relaciona números que pertencem a um conjunto a números que pertencem a outro de acordo com a definição acima.

Nas funções, o conjunto A é conhecido como domínio, e o conjunto B é o contradomínio.

Note que são necessários dois conjuntos e uma regra que os relaciona para definir uma função. Algebricamente, utilizamos símbolos para representar essa definição da seguinte maneira:

f: A → B
y = f(x)

Essa simbologia significa que cada elemento do conjunto A relaciona-se a um único elemento do conjunto B por meio da regra f e que essa regra é dada por y = f(x). A leitura dessa simbologia é: f de A em B, com y = f(x). Geralmente, esse f(x) é substituído por alguma equação em função de x.

Assim, dada uma função, por exemplo:

f: N → Z
y = 2x

Perceba que a função f relaciona cada elemento do conjunto dos números naturais a um único elemento do conjunto dos números inteiros por meio da regra y = 2x. Assim, dados os elementos 1, 2, 3, 4 e 5 dos números naturais, eles estarão relacionados aos respectivos elementos dos números inteiros: 2, 4, 6, 8 e 10.

Note que o resultado y depende do valor escolhido para x, assim, x é chamado variável independente e y é chamado variável dependente.

Domínio, contradomínio e imagem

Em uma função f: A → B, com y = f(x), o domínio dessa função é o conjunto A. Em outras palavras, os elementos que pertencem ao domínio dessa função são os mesmos elementos que pertencem ao conjunto A.

Os elementos que pertencem a esse conjunto são os possíveis valores da variável independente, geralmente representada pela letra x. Por exemplo, considere a seguinte função:

f: N → Z
y = 2x

Sabemos que seu domínio é composto por todos os números naturais. Então, a variável x pode assumir qualquer valor dentro desse conjunto, mas não pode assumir qualquer valor que não pertença a ele.

Note que essa função pega números naturais do domínio e multiplica por 2. Sendo assim, os resultados obtidos quando aplicamos a regra dessa função em qualquer número de seu domínio será um número par.

O contradomínio é o conjunto B, que contém todos os resultados possíveis obtidos aplicando a regra da função a um elemento do domínio. O contradomínio é um conjunto que obrigatoriamente deve conter todos esses resultados. Então, ele geralmente é um conjunto que contém o domínio ou é igual a ele.

Além disso, observe que o contradomínio contém todos os valores que a variável dependente pode assumir. Essa variável geralmente é representada pela letra y.

No exemplo dado, abaixo, note que os elementos que pertencem ao contradomínio da função são todos os números inteiros, embora nem todos eles estejam relacionados a elementos do domínio.

f: N → Z
y = 2x

A imagem de uma função é o conjunto dos elementos do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio. Na função acima, por exemplo, se x = 2, temos y = 4. O número 4 é chamado imagem de 2 pela função y = 2x. O conjunto de todas as imagens é o que chamamos de conjunto imagem da função.