Cone

Cone é uma figura geométrica formada pela união de uma região circular com um ponto que não pertence a esse plano. Podemos vê-lo também como sólido de revolução, ou seja, girando-se um triângulo retângulo em torno de seus catetos, forma-se um cone no espaço.

Apesar de remeterem-nos às pirâmides, veremos que os cones não possuem tantos elementos como elas, por exemplo: arestas, apótemas ou áreas da face.

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O que é um cone?

Considere um círculo A contido em um plano e um ponto P que não pertence a esse plano. Com base nisso, um cone é a união de todos os segmentos com extremidades em A e P.

Elementos do cone

Considere o cone a seguir para observarmos seus elementos.

• Base do cone: círculo do plano com o centro O e raio r.
• Vértice do cone: ponto P.
• Altura do cone: h, distância entre o vértice do cone e a base. Lembre-se de que altura é sempre perpendicular ao plano que contém a base, ou seja, o ângulo entre a altura e a base deve ser de 90°.
• Geratriz: g, qualquer segmento de reta que une o vértice a uma das extremidades da circunferência da base.

Classificação dos cones

Os cones são classificados em dois grupos: cones retos e cones oblíquos. Vamos dizer que um cone é reto quando a projeção de seu vértice coincidir com o centro da base, isto é, com o centro da circunferência, veja a imagem.

No cone reto, note que as medidas da geratriz são sempre iguais e veja que POB forma um triângulo retângulo, logo, nele o Teorema de Pitágoras é válido.

(PB)² = (PO)² + (OB)²

g² = h² + r²

Caso contrário, o cone é dito oblíquo.

Quando, em um cone reto, o triângulo formado em seu interior for equilátero, trata-se de um cone equilátero, e o valor da geratriz é o dobro do raio, ou seja:

g = 2 · r

Área do cone

A área do cone é determinada com base na planificação do sólido, e, assim como nas pirâmides, a área total do sólido é dada pela soma da área lateral (A_l) com a área da base (A_b), assim:

Como a base é uma circunferência, temos que sua área é:

A_b = π . r²

Nela r é a medida do raio r da circunferência.

A área lateral é um setor circular e pode ser encontrada de duas maneiras, veja:

• Área lateral em função do ângulo do setor circular

A_l = θ . g²
      2

Nela o ângulo q é o ângulo central do setor medido em radianos e g é a medida da geratriz.

• Área lateral em função do comprimento de arco do setor circular

A_l = π . r . g

Nela r é a medida do raio da área lateral, e g, a medida da geratriz.

Portanto, a área do cone é dada por:

A_cone = A_b + A_l

A_cone = πr² + πrg

A_cone = πr (g + r)

Volume do cone

O volume do cone também depende da área da base e da altura do cone, veja:

A fórmula do volume do cone é dada por:

V_cone = πr²h
              3

Saiba mais: Volume do cubo e do paralelepípedo: aprenda como calcular

Exercícios resolvidos

Questão1 – Um cone reto possui geratriz igual a 5 cm e altura de 3 cm. Determine as medias da área total e o volume desse cone.

Solução

Inicialmente, desenhamos esse cone com os dados fornecidos.

Para encontrar o valor da área e volume do cone, é necessário determinar primeiro o valor do raio da base. Para isso, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras.

5² = 3² + r²

25 = 9 + r²

25 – 9 = r²

r²  = 16

r  = 4 cm

Assim, a área e o volume são, respectivamente:

A_cone = πr (g + r) ⇒ A_cone = 4π (5 + 4) ⇒ A_cone = 36π cm²

V_cone = πr²h ⇒ V_cone = π4²3 ⇒ V_cone = 16π cm³
3                           3