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Volume da esfera

O volume da esfera é conhecido com base no raio desse sólido geométrico. A esfera está bastante presente no nosso cotidiano, no formato de diversos objetos.

Esferas coloridas em texto sobre volume da esfera. Para calcular o volume da esfera, é necessário conhecer o raio dessa figura.

O volume da esfera é calculado com base na medida do seu raio. A esfera é uma forma geométrica que possui três dimensões. Os principais elementos de uma esfera são o seu raio e o seu diâmetro. O volume da esfera é calculado por uma fórmula específica que será apresentada a seguir. Além do volume, podemos calcular a área da superfície da esfera.

Leia também: Como calcular o volume de um cilindro

Resumo sobre volume da esfera

  • Vários objetos do nosso cotidiano possuem formato esférico, como a bola de futebol.
  • Os principais elementos da esfera são o seu raio e o seu diâmetro.
  • Para calcular o volume da esfera, utilizamos a fórmula:

\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)

  • Existem outras fórmulas importantes, como a fórmula da área da esfera: \(A=4\pi r^2\).

Videoaula sobre volume da esfera

O que é uma esfera?

A esfera é uma forma tridimensional única, definida como uma figura tridimensional cujos pontos estão igualmente distantes de seu centro. Ela é uma das formas mais simétricas e está presente em nosso mundo de várias maneiras. Podemos perceber a presença da esfera na natureza, no corpo humano, no estudo dos planetas, entre outras várias situações do nosso dia a dia.

Bolas de esportes em texto sobre o volume da esfera.
As bolas de grande parte dos esportes possuem formato de esfera.

Uma esfera é um sólido geométrico. A bola de bilhar, de futebol e de basquete são exemplos de esfera. Ela é composta por todos os pontos que estão a uma distância constante de um ponto central chamado de centro da esfera. E essa distância constante é conhecida como o raio da esfera.

Elementos da esfera

A esfera tem algumas partes interessantes:

  • Centro: como o nome sugere, é o ponto que está no centro da esfera.
  • Diâmetro: segmento de reta que liga dois pontos opostos na esfera, passando pelo centro.
  • Raio: segmento que vai do centro até qualquer ponto da superfície.
  • Superfície: camada externa da esfera.
  • Interior: espaço dentro da esfera.
Esfera de centro O em texto sobre volume da esfera.
Esfera de centro O e raio OB.

Como se calcula o volume da esfera?

O volume da esfera é calculado pela fórmula:

\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)

  • V: é o volume da esfera.
  • R: é o raio da esfera.
  • π: é uma constante.

O valor da constante π mais utilizado é de aproximadamente 3,14, mas podemos considerar π igual a aproximadamente 3, ou aproximadamente 3,1, ou até mesmo aproximadamente 3,1415, dependendo de quantas casas decimais queremos considerar, pois o π é um número irracional, e números irracionais possuem infinitas casas decimais.

  • Exemplo:

Uma esfera possui raio medindo 6 cm. Qual é o volume dessa esfera, considerando que π=3?

Resolução:

Calculando o volume da esfera, temos que:

\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)

\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)

\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)

\(V=\frac{2592}{3}\)

\(V=864\ cm^3\)

Então, o volume dessa esfera é de 864 cm³.

Outra fórmula da esfera

Além da fórmula apresentada para calcular o volume da esfera, existe outra fórmula importante, que é a fórmula da área da sua superfície. Para calcular a área da superfície da esfera, a fórmula é:

\(A=4\pi r^2\)

A superfície da esfera nada mais é que a região que contorna a esfera. Por exemplo, em uma bola de plástico, a esfera é toda a bola, e a superfície é a região do plástico que é o contorno dessa bola.

  • Exemplo:

Qual é a medida da superfície de uma esfera que possui raio medindo 5 cm?

Resolução:

Como não foi dado o valor de π, não substituiremos ele por nenhum valor, então:

\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)

\(A=4\cdot\pi\cdot25\)

\(A=100\pi\ cm²\)

A área essa esfera é de 100π cm2.

Saiba mais: Qual é a diferença entre circunferência, círculo e esfera?

Exercícios resolvidos sobre volume da esfera

Questão 1

Um objeto esférico possui raio medindo 6 cm. Então o volume desse objeto (utilizando π=3,14) é igual a aproximadamente:

A)  314,42 cm³

B) 288,00 cm³

C) 424,74 cm³

D) 602,38 cm³

E) 904,32 cm³

Resolução:

Alternativa E

Substituindo os valores dados no enunciado na fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), temos:

\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)

\(V=\frac{4}{3}\pi216\)

\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904,32{\ cm}^3\)

Questão 2

Um recipiente possui formato esférico. Sabe-se que ele tem volume de 288π cm³. Conhecendo o seu volume, podemos então afirmar que a medida do raio desse recipiente é de:

A) 3 cm

B) 4 cm

C) 5 cm

D) 6 cm

E) 7 cm

Resolução:

Alternativa D

Sabemos que \(V=288\pi\).

Substituindo os valores dados no enunciado na fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), temos \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).

Cancelando o π nos dois lados e multiplicando cruzado:

\({4R}^3=864\)

\(R^3=216\)

\(R=\sqrt[3]{216}\)

\(R=\sqrt[3]{6^3}\)

\(R=6\ cm\)

Fontes

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar: Geometria Espacial, vol. 10, 6. ed. São Paulo: Atual, 2005.

LIMA, E. et. al. A matemática do Ensino Médio. volume 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.

Por Raul Rodrigues de Oliveira

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