Valor de pi

O número conhecido como pi é representado pela letra grega π e é uma das mais importantes constantes já criadas pela Matemática. Pi é um número racional, e isso significa que é um decimal finito e não periódico, ou seja, possui infinitas casas decimais. O valor aproximado de pi, com 20 casas decimais, é:

3,14159 26535 89793 23846

Entretanto, vestibulares, concursos e Enem propõem o arredondamento de pi para 3; 3,1 ou 3,14 na grande maioria dos casos.

Pi e o comprimento da circunferência

A primeira vez que a humanidade encontrou uma aproximação do valor de pi pode ter sido ao dividir o comprimento de uma circunferência pela medida do seu diâmetro. Sendo o comprimento igual a C e o diâmetro igual a 2r, nossos antepassados notaram que o resultado dessa divisão sempre se aproximava de uma constante:

C = 3,1
2r

Hoje, conhecendo o básico de equações, podemos multiplicar ambos os termos da fórmula acima por 2r e obter:

C = 3,1·2r

Essa é a fórmula do comprimento da circunferência, considerando pi como 3,1. Sabia-se que era possível encontrar ainda mais casas decimais de pi, contudo, os instrumentos usados para medir o comprimento da circunferência e seu diâmetro não eram tão precisos quanto os de hoje. Assim, foi necessário criar estratégias alternativas para encontrar aproximações melhores para essa constante.

Arquimedes e o valor de pi

Uma técnica muito interessante para encontrar uma aproximação melhor para o valor de pi foi desenvolvida por Arquimedes. O método usado por ele é chamado exaustão e consiste, nesse caso, em calcular o valor de pi por meio da comparação do perímetro de polígonos regulares congruentes, um inscrito e outro circunscrito a uma circunferência.

Seja C o comprimento da circunferência de raio r, seja p o perímetro do polígono inscrito nessa circunferência e P o perímetro do polígono circunscrito a ela, podemos afirmar que:

p

Isso porque o perímetro do polígono de “fora” (circunscrito) da circunferência é maior que o perímetro dela, que, por sua vez, é maior que o perímetro do polígono de “dentro” (inscrito) da circunferência. Dividindo essa cadeia de inequações por 2r, teremos:

p C P
2r   2r   2r

Sabendo que C dividido por 2r é igual a pi, teremos:

I: p P
   2r         2r

Portanto, o valor de pi está entre as medidas dos perímetros dos polígonos divididos por 2r. Geometricamente, o que Arquimedes fez foi perceber que o perímetro de um polígono regular, que possui muitos lados, aproxima-se muito do perímetro da circunferência. Logo, dividindo esses valores por 2r, encontraria uma boa aproximação para o valor de pi.

Arquimedes foi aumentando o número de lados desses polígonos até chegar à figura que possui 96 lados. Os valores encontrados para os perímetros (divididos por 2r) foram:

p = 22
2r    7

P = 223
2r     71

Os resultados dessas divisões, na inequação I, são:

3,14285714

Essa foi a primeira vez que houve certeza de que π é aproximadamente igual a 3,14.