Sequência numérica

A sequência numérica é um conjunto de números organizados de forma ordenada. A sequência numérica pode ser montada com diferentes critérios — por exemplo, a sequência dos números pares ou a sequência dos múltiplos de 3. Quando conseguimos descrever esse critério com uma fórmula, chamamos essa fórmula de lei de formação da sequência numérica. 

Leia também: Diferenças entre número, numeral e algarismo

Resumo sobre sequência numérica

• Sequência numérica é uma lista de números organizada em ordem.

• A sequência numérica pode seguir diferentes critérios.

• A lei de ocorrência da sequência numérica é a lista de elementos que existem na sequência.

• A sequência pode ser classificada de duas maneiras. Uma leva em conta a quantidade de elementos, e a outra leva em conta o comportamento.

• Quanto à quantidade de elementos, a sequência pode ser finita ou infinita.

• Quanto ao comportamento, a sequência pode ser crescente, constante, decrescente ou oscilante.

• Quando a sequência numérica pode ser descrita por uma equação, essa equação é conhecida como lei de formação da sequência numérica.

O que são sequências?

As sequências são os conjuntos de elementos organizados em uma determinada ordem. No nosso cotidiano, podemos perceber várias situações que envolvem sequências:

• Sequência de meses: janeiro, fevereiro, março, abril, ..., dezembro.

• Sequência de anos das 5 primeiras copas do mundo do século XXI: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.

Existem várias outras sequências possíveis, como sequência de nomes ou sequência de idades. Sempre que há ordem estabelecida, existe uma sequência.

Cada elemento de uma sequência é conhecido como termo da sequência, então em uma sequência há o primeiro termo, segundo termo e assim por diante. De modo geral, uma sequência pode ser representada por:

\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)

• \(a_1\) → o primeiro termo.

• \(a_2\) → o segundo termo.

• \(a_3\) → o terceiro termo.

• \(a_n\) → um termo qualquer.

Lei de ocorrência da sequência numérica

Podemos ter sequências de vários elementos, como meses, nomes, dias da semana, entre outros. A sequência é uma sequência numérica quando envolve números. Podemos formar a sequência de números pares, números ímpares, números primos, múltiplos de 5 etc.

A sequência é representada por meio de uma lei de ocorrência. A lei de ocorrência nada mais é que a lista dos elementos da sequência numérica.

Exemplos:

• (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → sequência dos números ímpares de 1 até 15.

• (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → sequência dos números múltiplos de 5.

• (-1, 1, -1, 1, -1, 1) → sequência alternada entre 1 e -1.

Qual a classificação da sequência numérica?

Podemos classificar as sequências de duas maneiras diferentes. Uma delas é levando em consideração a quantidade de elementos, e a outra é levando em consideração o comportamento desses elementos.

→ Classificação da sequência numérica de acordo com a quantidade de elementos

Quando classificamos a sequência quanto à quantidade de elementos, há duas classificações possíveis: a sequência finita e a sequência infinita.

◦ Sequência numérica finita

A sequência é finita se ela possui uma quantidade limitada de elementos.

Exemplos:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

• (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

• (-4, -6, -8, -10, -12)

◦ Sequência numérica infinita

A sequência é infinita se ela possui uma quantidade ilimitada de elementos.

Exemplos:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)

• (3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)

• ( -1, 2, -4, 8, -16, ...)

→ Classificação da sequência numérica de acordo com o comportamento da sequência

A outra maneira de classificar é quanto ao comportamento da sequência. Nesse caso, a sequência pode ser crescente, constante, oscilante ou decrescente.

◦ Sequência numérica crescente

A sequência é crescente se um termo for sempre maior que o seu antecessor.

Exemplos:

• (1, 5, 9, 13, 17, ...)

• (10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)

◦ Sequência numérica constante

A sequência é constante quando todos os termos possuem o mesmo valor.

Exemplos:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

• (-1, -1, -1, -1, -1, ...)

◦ Sequência numérica decrescente

A sequência é decrescente se os termos da sequência sempre são menores que os seus antecessores.

Exemplos:

• (-1, -2, -3, -4, -5, ...)

• (19, 16, 13, 10, 8, ...)

◦ Sequência numérica oscilante

A sequência é oscilante se houver termos maiores que os seus antecessores e termos menores que seus antecessores de forma alternada.

Exemplos:

• (1, -3, 9, -27, 81, ...)

• (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)

Lei de formação da sequência numérica

Em alguns casos, é possível descrever a sequência por meio de uma fórmula, porém isso nem sempre é possível. Por exemplo, a sequência dos números primos é uma sequência bem definida, entretanto não conseguimos descrevê-la por meio de uma fórmula. Conhecendo a fórmula, conseguimos construir a lei de ocorrência da sequência numérica.

• Exemplo 1:

Sequência dos números pares maiores que zero.

\(a_n=2n\)

Note que ao substituir n por um número natural (1, 2, 3, 4, ...), encontraremos um número par:

\(a_1=2⋅1=2\)

\(a_2=2⋅2=4\)

\(a_3=2⋅3=6\)

\(a_4=2⋅4=8\)

Então, temos uma fórmula que gera os termos da sequência formada por números pares maiores que zero:

(2, 4, 6, 8, ...)

• Exemplo 2:

Sequência dos números naturais maiores que 4.

\(a_n=4+n\)

Calculando os termos da sequência, temos que:

\(a_1=4+1=5\)

\(a_2=4+2=6\)

\(a_3=4+3=7\)

\(a_4=4+4=8\)

Escrevendo a lei de ocorrência:

(5, 6, 7, 8,…)

Veja também: Progressão aritmética — um caso especial de sequência numérica

Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

Questão 1

Uma sequência numérica possui lei de formação igual a \(a_n=n^2+1\). Analisando essa sequência, podemos afirmar que o valor do 5º termo da sequência será:

A) 6

B) 10

C) 11

D) 25

E) 26

Resolução:

Alternativa E

Calculando o valor do 5º termo da sequência, temos que:

\(a_5=5^2+1\)

\(a_5=25+1\)

\(a_5=26\)

Questão 2

Analise as sequências numéricas a seguir:

I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

Podemos afirmar que as sequências I, II e III são classificadas respectivamente como:

A) crescente, oscilante e decrescente.

B) decrescente, crescente e oscilante.

C) oscilante, constante e crescente.

D) decrescente, oscilante e constante.

E) oscilante, decrescente e crescente.

Resolução:

Alternativa C

Analisando as sequências, podemos afirmar que:

I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

É oscilante, pois há termos que são maiores que seus antecessores e termos que são menores que os seus antecessores.

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

É constante, pois os termos da sequência são sempre os mesmos.

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

É crescente, pois os termos são sempre maiores que os seus antecessores.