Cubo

O cubo é um sólido geométrico pertencente à classe dos poliedros e cuja característica principal é possuir seis faces compostas por quadrados congruentes, ou seja, com lados de mesma medida. Com base na medida do lado de um cubo, é possível calcular a sua diagonal, a área total de suas faces e a sua capacidade volumétrica.

Leia também: Prisma — poliedro que possui duas bases poligonais idênticas e áreas laterais retangulares ligando uma base à outra

Resumo sobre o cubo

• O cubo é um poliedro composto de seis faces quadradas de mesma medida.
• Ele possui seis faces, oito vértices e 12 arestas.
• A diagonal interna de um cubo de lado a é calculada pela seguinte fórmula:

(D=asqrt3)

• A área total da superfície de um cubo é dada pela seguinte fórmula:

(A=6cdot a^2)

• O volume de um cubo de lado a é calculado pela seguinte fórmula:

(V=a^3)

O que é cubo?

O cubo é um poliedro que possui seis faces quadradas congruentes entre si, ou seja, quadrados que possuem a mesma medida de lado.  Desse modo, o cubo também pode ser chamado de hexaedro regular, pois possui seis faces cujas arestas têm todas a mesma medida.

Composição do cubo

Assim como em outros poliedros, é possível destacar alguns elementos que compõem o cubo. No caso, ele possui seis faces, 12 arestas e oito vértices:

No cubo acima, é possível destacar os seguintes elementos:

• Faces: são as superfícies planas quadradas que compõem o cubo. São representadas pelos quadrados: ABCD, ADEH, ABGH, BCFG, CDEF e EFGH.
• Arestas: são as linhas que representam o encontro entre duas faces do cubo. São representadas pelos segmentos (ar{AB}, ar{BC}, ar{CD}, ar{DA}, ar{GH}, ar{HE}, ar{EF}, ar{FG}, ar{AH}, ar{BG}, ar{DE} e ar{CF}.).
• Vértices: são os pontos que unem as arestas do cubo. São representados pelos pontos A, B, C, D, E, F, G e H.

Diagonais do cubo

Também chamada de diagonal interna do cubo, a diagonal de um cubo é um segmento que liga dois vértices do cubo que estão em faces opostas, de modo que esse segmento esteja contido no interior do cubo (não pertencendo a nenhuma de suas faces).

Conhecendo a medida de uma das arestas do cubo, é possível determinar a medida da diagonal interna do cubo por meio do teorema de Pitágoras. Isso ocorre porque a diagonal interna do cubo pode ser vista como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são uma das arestas do cubo (na imagem a seguir representada por (ar{AH})) e a diagonal de uma das faces desse sólido (representada por (ar{HF})):

Também chamada de diagonal lateral do cubo, a diagonal de uma das faces do cubo é a diagonal de um quadrado. Assim, se o lado do quadrado tiver medida a:

(Diagonal do quadrado =asqrt2)

Desse modo, em um cubo de aresta de medida a, sua diagonal interna é calculada por meio do teorema de Pitágoras:

(left(hipotenusa ight)^2=left(cateto_1 ight)^2+left(cateto_2 ight)^2)

(left(diagonal interna do cubo ight)^2=left(aresta do cubo ight)^2+left(diagonal de um quadrado ight)^2)

(left(ar{AF} ight)^2=left(ar{AH} ight)^2+left(ar{HF} ight)^2)

(left(ar{AF} ight)^2=left(a ight)^2+left(asqrt2 ight)^2)

(left(ar{AF} ight)^2=a^2+2a^2)

(left(ar{AF} ight)^2={3a}^2)

(ar{AF}=sqrt{3a^2})

(ar{AF}=asqrt3)

Logo, um cubo de aresta a possui a seguinte medida da diagonal interna:

(diagonal interna do cubo=asqrt3)

Veja também: Quadrado — polígono que possui quatro lados e quatro ângulos com a mesma medida

Quais são as fórmulas do cubo

Conhecendo a medida de uma das arestas de um cubo, é possível calcular a medida da área total de sua superfície e o seu volume.

→ Área do cubo

A área total do cubo refere-se à área superficial total desse sólido, ou seja, é a soma da área de todas as faces que o compõem.

Como todas as faces do cubo são quadrados de mesma medida de lado, então a área total do cubo é igual a seis vezes a área de uma de suas faces.

Assim, um cubo cuja aresta mede a possui a seguinte área total:

(área total do cubo=6cdot(área de uma das faces))

(área total do cubo=6cdot a^2)

→ Volume do cubo

O volume de um cubo é a medida do espaço que ele ocupa. Para calcular o volume de um cubo, basta multiplicar a área de uma de suas faces pela sua altura.

Como em um cubo a área de uma das faces é a área de um quadrado e sua altura é igual à medida de uma de suas arestas, então seu volume é dado por:

(volume do cubo=(área de uma das faces)cdot(altura do cubo))

(volume do cubo=(área de um quadrado)cdot a)

(volume do cubo=a^2 cdot a)

(volume do cubo=a^3)

Para saber mais sobre o volume do cubo, clique aqui.

Exercícios resolvidos sobre cubo

Questão 1

Joana sabe que a soma da medida de todas as arestas de um cubo que ela tem em casa é igual a 60 cm. Qual é a medida de cada aresta do cubo de Joana?

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 10 cm

D) 12 cm

Resolução:

Alternativa A

Sabe-se que um cubo é um sólido geométrico em que todas as suas arestas possuem a mesma medida. Além disso, o cubo possui um total de 12 arestas.

Assim, a medida de cada aresta é de:

(rac{soma da medida das arestas}{total de arestas}=rac{60 cm}{12}=5 cm)

Questão 2

Caio foi contratado para construir uma escultura com o formato de um cubo. Foi pedido a ele que a diagonal interna da escultura tenha uma medida de 53 dm. Qual o volume da escultura que deve ser construída por Caio?

A) 25 dm³

B) 60 dm³

C) 75 dm³

D) 125 dm³

Resolução:

Alternativa D

Sabendo o valor da diagonal de um cubo, é possível determinar a medida da aresta desse sólido:

(diagonal interna do cubo=asqrt3)

(5sqrt3 dm=asqrt3)

(a=5 dm)

Assim, conhecendo a medida da aresta do cubo, é possível determinar seu volume por meio da fórmula:

(volume do cubo=a^3)

(volume do cubo={(5 dm)}^3)

(volume do cubo=125 dm^3)

Fontes

ALMEIDA, Célio Pinto de. Geometria espacial. 1. ed. Rio de Janeiro: G. Ermakoff, 2018.

DOLCE, Osvaldo; NICOLAU, José. Fundamentos de matemática elementar 10 – Geometria espacial. 5. ed. Santos: Atual, 1993.