Também conhecido como hexaedro regular, o cubo é um sólido geométrico que possui seis faces, todas elas sendo quadrados com mesma medida de lados.
O cubo é um sólido geométrico pertencente à classe dos poliedros e cuja característica principal é possuir seis faces compostas por quadrados congruentes, ou seja, com lados de mesma medida. Com base na medida do lado de um cubo, é possível calcular a sua diagonal, a área total de suas faces e a sua capacidade volumétrica.
Leia também: Prisma — poliedro que possui duas bases poligonais idênticas e áreas laterais retangulares ligando uma base à outra
\(D=a\sqrt3\)
\(A=6\cdot a^2\)
\(V=a^3\)
O cubo é um poliedro que possui seis faces quadradas congruentes entre si, ou seja, quadrados que possuem a mesma medida de lado. Desse modo, o cubo também pode ser chamado de hexaedro regular, pois possui seis faces cujas arestas têm todas a mesma medida.
Assim como em outros poliedros, é possível destacar alguns elementos que compõem o cubo. No caso, ele possui seis faces, 12 arestas e oito vértices:
No cubo acima, é possível destacar os seguintes elementos:
Também chamada de diagonal interna do cubo, a diagonal de um cubo é um segmento que liga dois vértices do cubo que estão em faces opostas, de modo que esse segmento esteja contido no interior do cubo (não pertencendo a nenhuma de suas faces).
Conhecendo a medida de uma das arestas do cubo, é possível determinar a medida da diagonal interna do cubo por meio do teorema de Pitágoras. Isso ocorre porque a diagonal interna do cubo pode ser vista como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são uma das arestas do cubo (na imagem a seguir representada por \(\bar{AH}\)) e a diagonal de uma das faces desse sólido (representada por \(\bar{HF}\)):
Também chamada de diagonal lateral do cubo, a diagonal de uma das faces do cubo é a diagonal de um quadrado. Assim, se o lado do quadrado tiver medida a:
\(Diagonal \ do\ quadrado =a\sqrt2\)
Desse modo, em um cubo de aresta de medida a, sua diagonal interna é calculada por meio do teorema de Pitágoras:
\(\left(hipotenusa\right)^2=\left(cateto_1\right)^2+\left(cateto_2\right)^2\)
\(\left(diagonal\ interna\ do\ cubo\right)^2=\left(aresta\ do\ cubo\right)^2+\left(diagonal\ de\ um\ quadrado\right)^2\)
\(\left(\bar{AF}\right)^2=\left(\bar{AH}\right)^2+\left(\bar{HF}\right)^2\)
\(\left(\bar{AF}\right)^2=\left(a\right)^2+\left(a\sqrt2\right)^2\)
\(\left(\bar{AF}\right)^2=a^2+2a^2\)
\(\left(\bar{AF}\right)^2={3a}^2\)
\(\bar{AF}=\sqrt{3a^2}\)
\(\bar{AF}=a\sqrt3\)
Logo, um cubo de aresta a possui a seguinte medida da diagonal interna:
\(diagonal\ interna\ do\ cubo=a\sqrt3\)
Veja também: Quadrado — polígono que possui quatro lados e quatro ângulos com a mesma medida
Conhecendo a medida de uma das arestas de um cubo, é possível calcular a medida da área total de sua superfície e o seu volume.
A área total do cubo refere-se à área superficial total desse sólido, ou seja, é a soma da área de todas as faces que o compõem.
Como todas as faces do cubo são quadrados de mesma medida de lado, então a área total do cubo é igual a seis vezes a área de uma de suas faces.
Assim, um cubo cuja aresta mede a possui a seguinte área total:
\(área\ total\ do\ cubo=6\cdot(área\ de \ uma\ das \ faces)\)
\(área\ total\ do\ cubo=6\cdot a^2\)
O volume de um cubo é a medida do espaço que ele ocupa. Para calcular o volume de um cubo, basta multiplicar a área de uma de suas faces pela sua altura.
Como em um cubo a área de uma das faces é a área de um quadrado e sua altura é igual à medida de uma de suas arestas, então seu volume é dado por:
\(volume\ do\ cubo=(área \ de\ uma \ das \ faces)\cdot(altura \ do \ cubo)\)
\(volume\ do\ cubo=(área \ de\ um\ quadrado)\cdot a\)
\(volume\ do\ cubo=a^2 \cdot a\)
\(volume\ do\ cubo=a^3\)
Para saber mais sobre o volume do cubo, clique aqui.
Questão 1
Joana sabe que a soma da medida de todas as arestas de um cubo que ela tem em casa é igual a 60 cm. Qual é a medida de cada aresta do cubo de Joana?
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 10 cm
D) 12 cm
Resolução:
Alternativa A
Sabe-se que um cubo é um sólido geométrico em que todas as suas arestas possuem a mesma medida. Além disso, o cubo possui um total de 12 arestas.
Assim, a medida de cada aresta é de:
\(\frac{soma\ da\ medida\ das\ arestas}{total\ de\ arestas}=\frac{60\ cm}{12}=5\ cm\)
Questão 2
Caio foi contratado para construir uma escultura com o formato de um cubo. Foi pedido a ele que a diagonal interna da escultura tenha uma medida de 53 dm. Qual o volume da escultura que deve ser construída por Caio?
A) 25 dm3
B) 60 dm3
C) 75 dm3
D) 125 dm3
Resolução:
Alternativa D
Sabendo o valor da diagonal de um cubo, é possível determinar a medida da aresta desse sólido:
\(diagonal\ interna\ do\ cubo=a\sqrt3\)
\(5\sqrt3\ dm=a\sqrt3\)
\(a=5\ dm\)
Assim, conhecendo a medida da aresta do cubo, é possível determinar seu volume por meio da fórmula:
\(volume\ do\ cubo=a^3\)
\(volume\ do\ cubo={(5\ dm)}^3\)
\(volume\ do\ cubo=125\ dm^3\)
Fontes
ALMEIDA, Célio Pinto de. Geometria espacial. 1. ed. Rio de Janeiro: G. Ermakoff, 2018.
DOLCE, Osvaldo; NICOLAU, José. Fundamentos de matemática elementar 10 – Geometria espacial. 5. ed. Santos: Atual, 1993.