Área do círculo

Área é a medida responsável por relacionar um número real à quantidade de plano que uma figura geométrica ocupa. Em outras palavras, por meio da área, é possível medir a região plana limitada por uma figura geométrica qualquer, desde que seja possível calcular a área dessa figura. A área do círculo, portanto, é a medida relacionada à região limitada por um círculo. Essa medida pode ser encontrada por meio da seguinte fórmula:

A = πr²

Nessa fórmula, A é a área do círculo, r é o raio desse mesmo círculo e π é constante, igual a aproximadamente 3,1416.

Origem de π

Todos os círculos são figuras semelhantes. Há proporcionalidade entre as medidas de seu comprimento e de seus raios ou diâmetros. Dividindo a medida do comprimento de um círculo pela medida de seu diâmetro, o resultado sempre é igual a, aproximadamente, 3,14. No círculo da figura a seguir:

Um círculo de diâmetro igual a 2 cm terá perímetro igual a 6,28 cm. Observe o resultado da divisão do perímetro pelo diâmetro:

6,28 = 3,14
2           

Esse resultado será encontrado em qualquer que seja o círculo, uma vez que diâmetro e perímetro são proporcionais. Isso levou os matemáticos a suporem que, para encontrar o comprimento de um círculo, bastava multiplicar a constante 3,14 (aproximadamente) pelo diâmetro ou por duas vezes o raio. Mais tarde, essa constante foi chamada de π.

Origem da área do círculo

Calcular a área de um paralelogramo é fácil: basta multiplicar sua altura por seu comprimento. A técnica usada para encontrar uma forma de calcular a área do triângulo depende de perceber que todo triângulo é igual à metade de um paralelogramo, portanto, a área do triângulo é dada por:

A = bh
      2

Nessa fórmula, b é a base do triângulo e h é sua altura. Tendo isso em mente, tentaremos transformar um círculo em um triângulo.

Considere o círculo formado por uma corda, como mostra a figura a seguir:

Escolheremos um raio desse círculo e faremos um corte. Note que teremos algumas partes da corda, agora que ela foi cortada. A primeira delas, mais exterior, tem a mesma medida que o comprimento do círculo. Conforme avançamos em direção a seu centro, encontraremos pedaços de corda cada vez menores. Se esses pedaços forem esticados e colocados em ordem, poderemos formar um triângulo retângulo, como mostra a figura a seguir:

Observe que a primeira tira tem exatamente a medida do comprimento – também chamado perímetro – do círculo. Além disso, perceba que o corte foi feito por um raio. Portanto, a base desse triângulo tem a mesma medida do comprimento do círculo; e a altura do triângulo tem a mesma medida do raio do círculo. Calcular a área desse círculo resume-se a obter a área do triângulo formado por ele. Para tanto, lembre-se de que o comprimento do círculo é dado por C = 2πr.

A = bh = 2πR·R = πR²
         2          2                

Exemplo

Dado o raio ou o diâmetro – que é igual a duas vezes a medida do raio – de um círculo, sempre será possível determinar sua área, apenas usando a fórmula anterior. Observe:

Qual a área de um círculo cujo raio mede 10 cm?

A = πr²

A = 3,14·10²

A = 3,14·100

A = 314 cm²