Área do cilindro

Para calcular a área de um cilindro, é necessário calcular separadamente a área de suas bases e a área lateral. Veja a figura a seguir:

Depois desse cálculo, bastar somar os resultados encontrados.

Área das bases de um cilindro

De acordo com a definição dos cilindros, as suas bases são congruentes. Isso significa que possuem as mesmas medidas. Dessa maneira, é necessário calcular apenas a área de uma das bases e multiplicar o resultado por 2. Isso simplifica o procedimento e poupa tempo.

Observe que as bases de um cilindro são círculos de raio r. Assim, para calcular a área das bases, podemos usar a fórmula para o cálculo da área do círculo:

A_B1 = πr²

A_B2 = πr²

A_B1 é a área da primeira base, A_B2 é a área da segunda base, e r é o raio do cilindro. Observe que r é o mesmo para as duas áreas, pois as bases são círculos congruentes.

A área total das bases do cilindro, portanto, é a soma das áreas das duas bases. Como essas áreas são iguais, podemos escrever:

A_B = A_B1 + A_B2

A_B = πr² + πr²

A_B = 2πr²

Área lateral de um cilindro

A área lateral do cilindro é a área da figura formada entre os dois círculos. Obviamente, é necessário descobrir que figura é essa para calcular a área. Para tanto, imagine um corte vertical feito no cilindro. Ao abrir essa forma, teremos como resultado um paralelogramo. Observe a figura a seguir que mostra a planificação de um cilindro:

A versão planificada de um cilindro mostra que sua superfície lateral é um paralelogramo. A área dessa figura é obtida multiplicando-se base por altura, ou seja, multiplicando-se o comprimento de um de seus lados pela distância entre esse lado e o oposto a ele. Assumindo base e altura como b e h, respectivamente, teremos:

A_L = bh

Tomando como base o lado maior do paralelogramo, observe que essa base coincide com o contorno do círculo, que é a base do cilindro. A imagem a seguir ilustra isso:

Dessa maneira, a base do paralelogramo tem a mesma medida do perímetro do círculo, que pode ser obtido pela seguinte expressão:

P = 2πr

Assim, b = 2πr, sendo b a base do paralelogramo. Substituindo isso na fórmula para o cálculo da área lateral do cilindro, teremos:

A_L = 2πrh

Área total do cilindro

Como dito, a área total do cilindro (A) é a soma entre as áreas das bases e a área lateral. Portanto, matematicamente, teremos:

A = AB + AL

A = 2πr² + 2πrh

Colocando os fatores comuns em evidência, teremos:

A = 2πr(r + h)

Exemplo:

Calcule a área de um cilindro cujo raio da base mede 10 cm e a altura mede 15 cm.

Solução: basta usar a fórmula da área que acabamos de obter. Para isso, arredondaremos π para 3.

A = 2πr(r + h)

A = 2·3·10·(10 + 15)

A = 6·10·(25)

A = 60·25

A = 1500 cm² aproximadamente

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

 

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