Produtos notáveis

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Produtos notáveis Entre os produtos notáveis, estão o quadrado da soma, o quadrado da diferença e o produto da soma pela diferença
Por Luiz Paulo Moreira Silva
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Produtos notáveis são as cinco multiplicações mais usadas entre polinômios. Os resultados desses produtos são muito comuns e encontrados na solução de diversos problemas, tanto na forma de polinômio quanto na de equação do segundo grau. Os cinco produtos notáveis mais importantes são: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Os produtos notáveis podem ser usados como fórmulas para calcular potências envolvendo polinômios. Para compreender esse uso, é necessário discutir essas “fórmulas” e o modo como elas são criadas.

Quadrado da soma

O produto notável conhecido como quadrado da soma sempre pode ser colocado na forma a seguir:

(x + a)2

Observe que elevar essa soma ao quadrado é o mesmo que calcular a seguinte multiplicação:

(x + a)(x + a)

Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição – mais conhecida como “chuveirinho” – obtemos:

(x + a)(x + a) =

x2 + xa + ax + a2

Somando os termos semelhantes, temos:

x2 + xa + ax + a2 =

x2 + 2ax + a2

Note que, comparando esse resultado ao produto notável inicial, podemos concluir que:

O quadrado do primeiro termo,
somado a duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo,
somado ao quadrado do segundo termo,
é igual ao quadrado da soma.

Essa é a regra que deve ser memorizada, caso queira evitar de fazer esses cálculos em todos os quadrados da soma.

Quadrado da diferença

O quadrado da diferença é semelhante ao quadrado da soma, a única diferença é que o resultado terá um sinal negativo, de acordo com os cálculos a seguir. O quadrado da diferença é o produto notável que pode ser escrito na seguinte forma:

(x – a)2

Para encontrar o resultado desse quadrado, basta escrevê-lo na forma de produto e usar a propriedade distributiva, assim como o que foi feito no caso anterior.

(x – a)(x – a) = x2 – ax – xa + a2

Somando os termos semelhantes do resultado, obtemos:

x2 – 2xa + a2

Esse resultado pode ser interpretado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo,

somado ao quadrado do segundo termo,
é igual ao quadrado da diferença.

Produto da soma pela diferença

Esse produto notável sempre pode ser escrito na forma de produto entre uma soma e uma diferença, como no exemplo:

(x + a)(x – a)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

(x + a)(x – a) = x2 – xa + ax – a2

Fazendo a adição dos termos semelhantes, obtemos:

x2 – xa + ax – a2 = x2 – a2

Esse resultado pode ser lido da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo,
menos o quadrado do segundo termo,

é igual ao produto da soma pela diferença

Cubo da soma

O produto notável conhecido como cubo da soma sempre pode ser escrito na seguinte forma:

(x + a)3

Para calcular o resultado do cubo da soma, basta escrevê-lo como produto de três polinômios e usar a propriedade distributiva. Observe:

(x + a)3

(x + a)(x + a)(x + a)

(x + a)(x2 + 2ax + a2)

x3 + 2ax2 + xa2 + ax2 + 2a2x + a3

Feito isso, basta somar os termos semelhantes:

x3 + 2ax2 + xa2 + ax2 + 2a2x + a3

x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

Observe que esse resultado pode ser lido da seguinte maneira:

O cubo do primeiro termo,
somado a três vezes o quadrado do primeiro termo, vezes o segundo termo,
somado a três vezes o primeiro termo, vezes o quadrado do segundo termo,
somado ao cubo do segundo termo.

Cubo da diferença

O produto notável conhecido como cubo da diferença é aquele que pode ser escrito da seguinte maneira:

(x – a)3

A solução desse produto notável é dada multiplicando “x – a” por si mesmo três vezes:

(x – a)(x – a)(x – a)

(x – a)(x2 – 2ax + a2)

x3 – 2ax2 + xa2 – ax2 + 2a2x – a3

x3 – 3ax2 + 3a2x – a3

Então, esse resultado pode ser lido da seguinte maneira:

O cubo do primeiro termo,
menos três vezes o quadrado do primeiro termo, vezes o segundo termo,
somado a três vezes o primeiro termo, vezes o quadrado do segundo termo,
menos o cubo do segundo termo.

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