Produtos notáveis

Produtos notáveis são as cinco multiplicações mais usadas entre polinômios. Os resultados desses produtos são muito comuns e encontrados na solução de diversos problemas, tanto na forma de polinômio quanto na de equação do segundo grau. Os cinco produtos notáveis mais importantes são: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Os produtos notáveis podem ser usados como fórmulas para calcular potências envolvendo polinômios. Para compreender esse uso, é necessário discutir essas “fórmulas” e o modo como elas são criadas.

Quadrado da soma

O produto notável conhecido como quadrado da soma sempre pode ser colocado na forma a seguir:

(x + a)²

Observe que elevar essa soma ao quadrado é o mesmo que calcular a seguinte multiplicação:

(x + a)(x + a)

Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição – mais conhecida como “chuveirinho” – obtemos:

(x + a)(x + a) =

x² + xa + ax + a²

Somando os termos semelhantes, temos:

x² + xa + ax + a² =

x² + 2ax + a²

Note que, comparando esse resultado ao produto notável inicial, podemos concluir que:

O quadrado do primeiro termo,
somado a duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo,
somado ao quadrado do segundo termo,
é igual ao quadrado da soma.

Essa é a regra que deve ser memorizada, caso queira evitar de fazer esses cálculos em todos os quadrados da soma.

Quadrado da diferença

O quadrado da diferença é semelhante ao quadrado da soma, a única diferença é que o resultado terá um sinal negativo, de acordo com os cálculos a seguir. O quadrado da diferença é o produto notável que pode ser escrito na seguinte forma:

(x – a)²

Para encontrar o resultado desse quadrado, basta escrevê-lo na forma de produto e usar a propriedade distributiva, assim como o que foi feito no caso anterior.

(x – a)(x – a) = x² – ax – xa + a²

Somando os termos semelhantes do resultado, obtemos:

x² – 2xa + a²

Esse resultado pode ser interpretado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo,
somado ao quadrado do segundo termo,
é igual ao quadrado da diferença.

Produto da soma pela diferença

Esse produto notável sempre pode ser escrito na forma de produto entre uma soma e uma diferença, como no exemplo:

(x + a)(x – a)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

(x + a)(x – a) = x² – xa + ax – a²

Fazendo a adição dos termos semelhantes, obtemos:

x² – xa + ax – a² = x² – a²

Esse resultado pode ser lido da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo,
menos o quadrado do segundo termo,
é igual ao produto da soma pela diferença

Cubo da soma

O produto notável conhecido como cubo da soma sempre pode ser escrito na seguinte forma:

(x + a)³

Para calcular o resultado do cubo da soma, basta escrevê-lo como produto de três polinômios e usar a propriedade distributiva. Observe:

(x + a)³

(x + a)(x + a)(x + a)

(x + a)(x² + 2ax + a²)

x³ + 2ax² + xa² + ax² + 2a²x + a³

Feito isso, basta somar os termos semelhantes:

x³ + 2ax² + xa² + ax² + 2a²x + a³

x³ + 3ax² + 3a²x + a³

Observe que esse resultado pode ser lido da seguinte maneira:

O cubo do primeiro termo,
somado a três vezes o quadrado do primeiro termo, vezes o segundo termo,
somado a três vezes o primeiro termo, vezes o quadrado do segundo termo,
somado ao cubo do segundo termo.

Cubo da diferença

O produto notável conhecido como cubo da diferença é aquele que pode ser escrito da seguinte maneira:

(x – a)³

A solução desse produto notável é dada multiplicando “x – a” por si mesmo três vezes:

(x – a)(x – a)(x – a)

(x – a)(x² – 2ax + a²)

x³ – 2ax² + xa² – ax² + 2a²x – a³

x³ – 3ax² + 3a²x – a³

Então, esse resultado pode ser lido da seguinte maneira:

O cubo do primeiro termo,
menos três vezes o quadrado do primeiro termo, vezes o segundo termo,
somado a três vezes o primeiro termo, vezes o quadrado do segundo termo,
menos o cubo do segundo termo.

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: