Racionalização de denominadores

A racionalização de radicais é o procedimento usado no caso de uma fração possuir radical no denominador. Esse procedimento encontra uma fração equivalente a essa com radical no numerador.

É importante conhecer esse procedimento porque as frações representam divisões. É muito mais fácil racionalizar uma fração que dividir um numerador qualquer por um denominador com raiz.

Por exemplo:

 3 
√3

Após feito o processo de racionalização, a fração equivalente a essa será:

3√3
3

Essa fração pode ser simplificada (clique aqui para aprender a simplificar frações), e o resultado final é √3.

Racionalização: Caso 1

Dada uma fração qualquer, é possível encontrar frações equivalentes a ela apenas multiplicando numerador e denominador pelo mesmo número. A única restrição para essa multiplicação é o 0, que não pode ser multiplicado pelo denominador de uma fração, pois denominadores obrigatoriamente têm que ser diferentes de zero. Sendo assim, podemos escolher, por exemplo, √3 para multiplicar o numerador e o denominador do exemplo acima.

 3 ·√3
√3 √3

Assim, a fração obtida nessa multiplicação será equivalente à fração inicial. Observe agora os resultados da multiplicação:

 3 ·√3 =  3√3  = 3√3
√3 √3     (√3)²      3  

O resultado obtido é o mesmo do exemplo anterior.

O número que foi escolhido para multiplicar a fração inicial é chamado de fator racionalizante. Nos casos em que o denominador for apenas um radical ou um produto em que um dos fatores seja um radical, poderemos repetir esse procedimento para racionalizar denominadores.

Racionalização: Caso 2

Já o caso em que existir uma adição ou subtração no denominador, o fator racionalizante deverá ser o que chamamos de conjugado do denominador. Esse conjugado é formado pela adição entre a primeira parcela e o inverso aditivo da segunda – inverso aditivo é o mesmo número com sinal trocado.

Por exemplo:

     1     
√3 + √5 

O fator racionalizante nesse exemplo é o conjugado de √3 + √5, que é: √3 – √5. Observe a racionalização:

      1      (√3 – √5)
(√3 + √5)(√3 – √5)

Os resultados dessas multiplicações serão:

                √3 – √5                
√3√3 + √5√3 – √5√3 + √5√5

Observe que + √5√3 – √5√3 = 0. O que sobra no denominador é √3√3 + √5√5. Fazendo essas multiplicações, teremos:

    √3 – √5     
(√3)² + (√5)²

O que resulta em:

√3 – √5
3 + 5

√3 – √5
8

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: