Soma dos termos de uma PA

 A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) pode ser obtida por meio da seguinte fórmula:

Nessa fórmula, S_n representa a soma dos termos, a₁ é o primeiro termo e a_n é o último termo da PA em questão, n é o número de termos que serão somados. Para somar os termos de uma progressão aritmética, basta substituir os valores nessa fórmula.

Exemplos de soma dos termos de uma PA

A seguir, veja dois exemplos de como a fórmula apresentada acima pode ser usada para obter a soma dos termos de uma PA.

→ Exemplo 1

Determine a soma dos termos da seguinte PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).

Para usar a fórmula dada, observe que:

a₁ = 2

a_n = 40

n = 20

Esse último dado (número de termos) foi obtido contando os termos da PA. Aplicando esses dados na fórmula, teremos:

Assim, a soma dos termos dessa PA é 420.

Note que essa fórmula só é válida para progressões aritméticas que possuem um número finito de termos. Se a PA for infinita, será necessário limitar o número de termos que serão somados. Quando isso ocorrer, pode ser necessário usar outros conhecimentos sobre PA para se obter o último termo a ser somado.

Observe a seguir um exemplo de soma dos termos de uma PA infinita:

→ Exemplo 2

Determine a soma dos 50 primeiros termos da PA a seguir: (5, 10, 15, …).

Note que essa PA é infinita, isso é evidenciado pelas reticências. O primeiro termo é 5, assim como a razão da PA, pois 10 – 5 = 5. Como queremos descobrir a soma dos 50 primeiros termos, o 50º termo será representado por a₅₀. Para descobrir seu valor, podemos usar a fórmula do termo geral da PA:
 

Nessa fórmula, r é a razão da PA. Substituindo os valores dados no enunciado nessa fórmula, teremos:

Sabendo que o 50º termo é 250, podemos usar a fórmula da soma dos termos para obter a soma dos 50 primeiros termos (S₅₀) dessa PA:

Gauss e a soma dos termos de uma PA

Conta-se que o matemático alemão Gauss foi o primeiro a usar um método alternativo para somar termos de uma PA, sem precisar somar termo por termo. Posteriormente, sua ideia de simplificação de passos acabou tornando-se a fórmula usada para encontrar a soma.

Conta a história que, quando criança, Gauss teve um professor que aplicou um castigo para toda a turma: somar todos os números de 1 até 100.

Gauss percebeu que as somas do primeiro número com o último, do segundo com o penúltimo e assim por diante davam o mesmo resultado:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101
…

Seu maior trabalho foi observar que, como estava somando dois números, encontraria 50 resultados iguais a 101, ou seja, a soma de todos os números de 1 até 100 poderia ser encontrada fazendo 50 .101 = 5050.

O resultado obtido por Gauss, pode ser conferido por meio da fórmula da soma dos termos de uma PA. Observe: