Perímetro do quadrado

O perímetro do quadrado é a medida total do contorno dessa figura. Ele representa a soma dos lados do quadrado, que, por serem todos iguais, é equivalente a quatro vezes a medida de um dos lados. A partir da medida do diâmetro ou da área do quadrado é possível encontrar a medida do seu lado e, assim, a medida de seu perímetro.

Caso um quadrado esteja inscrito em uma circunferência, é possível encontrar a medida do lado do quadrado através da medida do raio da circunferência.

Leia também: Como calcular a área de polígonos

Resumo sobre o perímetro do quadrado

• O perímetro do quadrado é a soma da medida de seus quatro lados.
• Um quadrado de lado a  possui um perímetro dado por (P=4a).
• A diagonal de um quadrado de lado a  é dado por (d=asqrt2).
• A área de um quadrado de lado a  é calculada por (A=a^2).
• A medida do lado a de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio R é encontrada pela relação (R=rac{asqrt2}{2}).

Como se calcula o perímetro do quadrado?

O perímetro do quadrado é a medida do contorno dessa figura, ou seja, é a soma da medida de seus lados. Assim, para calcular o perímetro do quadrado é necessário saber a medida de um de seus lados.

Imagine um quadrado de lado medindo a. Como seus lados possuem a mesma medida, o perímetro desse quadrado é igual a:

(mathbf{Perímetro do quadrado}=a+a+a+a=4cdot a)

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado cujo lado mede 5 cm?

(Perímetro do quadrado=5+5+5+5=4cdot 5=20 cm)

Como se calcula com lados desconhecidos

Há situações em que a medida do lado de um quadrado não é informada. Nesses casos, pode-se utilizar outras informações sobre o quadrado para determinar a medida de seu lado e, por fim, calcular seu perímetro.

As duas informações mais comuns relacionadas com o lado de um quadrado são a área e a diagonal dessa figura. Um quadrado de lado de medida a possui a seguinte área e medida da diagonal:

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado cuja diagonal mede (4sqrt2 cm)?

A diagonal d  de um quadrado de lado a  possui a seguinte medida de diagonal:

(Diagonal do quadrado:d=asqrt2)

Portanto, um quadrado cuja diagonal mede (4sqrt2 cm) possui a seguinte medida de lado:

(asqrt2=4sqrt2 cm)

(a=4 cm)

Assim, o perímetro desse quadrado é dado por:

(Perímetro do quadrado=4cdot a=4cdot 4 cm=16 cm)

Uma outra maneira de encontrar a medida dos lados de um quadrado e posteriormente seu perímetro é através da medida da área dessa figura.

• Área do quadrado

A área do quadrado é referente à região ocupada por essa figura. Para encontrar essa medida, é preciso elevar ao quadrado a medida do lado do quadrado.

Assim, um quadrado de lado de medida a possui a seguinte área:

(Área do quadrado=(lado)^2=a^2)

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado cuja área mede 4 cm²?

Como visto, a área do quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado. Assim, se um quadrado possui lado de medida a, então:

(a^2=4 cm^2 ) 

(a=pmsqrt{4 cm^2})

(a=pm2 cm)

Já que a medida do lado do quadrado não pode ser negativa, esse quadrado possui lado de medida a=2 cm. Portanto, o perímetro desse quadrado é dado por:

(Perímetro do quadrado=4cdot a=4cdot 2 cm=8 cm)

Como se calcula o perímetro do quadrado inscrito em uma circunferência?

Pode haver situações em que um quadrado está inscrito em uma circunferência. Nesse caso, com a informação sobre o raio da circunferência, é possível descobrir a medida do lado do quadrado e, assim, calcular seu perímetro.

Quando um quadrado está inscrito em uma circunferência, o centro das duas imagens é o mesmo. Assim, o raio da circunferência será metade da medida da diagonal do quadrado.

(R=rac{d}{2}=rac{asqrt2}{2})

Portanto, o raio R da circunferência e o lado a de um quadrado inscrito a ela cumprem a relação:

(R=rac{asqrt2}{2})

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado que está inscrito em uma circunferência cujo raio mede (3sqrt2 cm)?

Primeiramente, através do raio da circunferência encontra-se o lado do quadrado:

(R=rac{asqrt2}{2})

(3sqrt2=rac{asqrt2}{2})

(2cdot3sqrt2=asqrt2)

(rac{6sqrt2}{sqrt2}=a)

(a=6 cm)

Assim, o perímetro desse quadrado de lado 6 cm  é igual a

(Perímetro do quadrado=4cdot a=4cdot 6 cm=24 cm)

Leia também: Critérios de congruência de figuras geométricas

Exercícios resolvidos sobre o perímetro do quadrado

Questão 1

Um fazendeiro vai cercar um terreno de formato quadrado. Ele sabe que precisa de 9 m de arame para cercar somente um lado do terreno. Quantos metros de arame ele precisa para cercar o terreno todo, sendo essa medida o perímetro do terreno?

a) 9 m

b) 18 m

c) 27 m

d) 36 m

Resolução

Sabendo que um lado do terreno mede o equivalente a 9 m, para cercar o perímetro do terreno quadrado todo são necessários:

(Perímetro do terreno quadrado=4cdot9 m=36 m)

Assim, são necessários 36 m de arame.

A alternativa correta é a alternativa d).

Questão 2

Uma professora pediu que seus alunos desenhassem um quadrado que tivesse 100 cm² de área. Qual deve ser o perímetro do quadrado desenhado pelos alunos?

a) 10 cm

b) 25 cm

c) 40 cm

d) 100 cm

Resolução

Sabendo a área do quadrado, é possível descobrir a medida do seu lado a  através da relação:

(a^2=100 cm^2 ) 

(a=pmsqrt{100 cm^2})

(a=pm10 cm)

Como a medida do lado do quadrado deve ser positiva, então o lado do quadrado deve medir 10 cm .

Assim, o perímetro desse quadrado é igual a

(Perímetro do terreno quadrado=4cdot10 cm=40 cm)

A alternativa correta é a alternativa c).

Fontes:

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.

SAMPAIO, Fausto Arnaud. Trilhas da matemática, 7º ano: ensino fundamental, anos finais. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2018.