Ponto de máximo e ponto de mínimo

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Ponto de máximo e ponto de mínimo Exemplo de função que representa uma parábola, figura que pode ter pontos de máximo ou de mínimo
Por Luiz Paulo Moreira Silva
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Uma função do segundo grau é uma função que pode ser escrita na forma: f(x) = ax2 + bx + c, em que a ≠ 0. Toda função do segundo grau pode ser representada graficamente por uma parábola. Existem alguns casos em que essa parábola pode estar voltada para cima, possuindo, assim, um ponto de mínimo, e outros em que ela pode estar voltada para baixo, possuindo, assim, um ponto de máximo.

O candidato a ponto de máximo (ou de mínimo) no gráfico de uma parábola é chamado de vértice, portanto, encontrar as coordenadas do vértice equivale a encontrar a localização do ponto de máximo ou de mínimo da parábola. Se V(xv, yv) é o vértice com suas coordenadas, então as fórmulas que podem ser usadas para encontrar essas coordenadas são:

xv = – b 
        2a

yv = – Δ 
         4a

Ponto de mínimo

Não é necessário construir a parábola para observar seu ponto de máximo. A partir da função do segundo grau, é possível obter todas as informações necessárias algebricamente. Só não é possível ver a localização desse ponto.

Toda parábola/função do segundo grau possui vértice. Esse vértice é o ponto de mínimo se o coeficiente a > 0. Isso faz com que a parábola tenha concavidade voltada para cima e, assim, possua um “valor mínimo”, como mostra a figura a seguir.

Observando o desenho, é possível perceber que “abaixo” do ponto de mínimo não existem outros pontos da parábola. No entanto, o mais correto é dizer que a menor coordenada y de algum ponto pertencente a uma parábola, com a > 0, é a coordenada do ponto de mínimo.

Ponto de máximo

Toda parábola/função do segundo grau com a coordenada a < 0 possui ponto de máximo, pois sua concavidade é voltada para baixo e, por isso, ela possui um ponto que é o “mais alto de todos”.

Novamente, o correto é afirmar que não existe nenhum ponto pertencente a essa parábola com coordenada y superior a essa mesma coordenada do vértice.

A imagem a seguir mostra uma parábola com concavidade voltada para baixo e seu ponto de máximo.

É possível determinar se o vértice de uma função é ponto de máximo ou de mínimo apenas conferindo o valor do coeficiente a. Se a > 0, a função possui ponto de mínimo, e se a < 0, a função possui ponto de máximo.

Outro método para encontrar as coordenadas do vértice

Quando a função possui raízes, podemos encontrar as coordenadas do vértice da função da seguinte maneira:

1 – Encontrar as raízes da função.

2 – Encontrar o ponto médio entre as raízes. Esse valor é a coordenada x do vértice.

3 – Encontrar a imagem da função relacionada ao valor encontrado no passo 2 para x do vértice. Esse será o valor de y do vértice.

Exemplo

Determine as coordenadas do vértice da função f(x) = x2 – 16.

Solução 1 – Utilizando as fórmulas

xv = – b 
        2a

xv = – 0  
        2·1

xv = 0
       2

xv = 0

yv = – Δ
        4a

yv = – (b2 – 4ac)
             4a   

yv = – (0 – 4·1·[– 16])
                  4         

yv = – (– 4·1·[– 16])
                4      

yv = – (64)
           4

yv = – 16

Solução 2 – Encontrando o ponto médio das raízes e a imagem da função relativa a ele

As raízes dessa função podem ser obtidas pela fórmula de Bháskara. Entretanto, usaremos outro método para encontrá-las.

f(x) = x2 – 16

0 = x2 – 16

x2 = 16

√x2 = ± √16

x = ± 4

O ponto médio das raízes é xv:

xv = 4 – 4 = 0 = 0
          2       2      

Substituindo 0 na função para encontrar yv, teremos:

f(x) = x2 – 16

f(0) = 02 – 16

f(0) = – 16

Portanto, as coordenadas do vértice são: V(0, – 16).


 

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