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Ponto de máximo e ponto de mínimo

Aprenda o que é ponto de máximo e ponto de mínimo e entenda como esses elementos são representados. Esses pontos são definidos de acordo com a maior ou menor coordenada possível de Y e podem representar o ponto mais alto ou mais baixo de uma parábola, que é a figura que representa uma função do segundo grau.

Exemplo de função que representa uma parábola, figura que pode ter pontos de máximo ou de mínimo Exemplo de função que representa uma parábola, figura que pode ter pontos de máximo ou de mínimo

Uma função do segundo grau é uma função que pode ser escrita na forma: f(x) = ax2 + bx + c, em que a ≠ 0. Toda função do segundo grau pode ser representada graficamente por uma parábola. Existem alguns casos em que essa parábola pode estar voltada para cima, possuindo, assim, um ponto de mínimo, e outros em que ela pode estar voltada para baixo, possuindo, assim, um ponto de máximo.

O candidato a ponto de máximo (ou de mínimo) no gráfico de uma parábola é chamado de vértice, portanto, encontrar as coordenadas do vértice equivale a encontrar a localização do ponto de máximo ou de mínimo da parábola. Se V(xv, yv) é o vértice com suas coordenadas, então as fórmulas que podem ser usadas para encontrar essas coordenadas são:

xv = – b 
        2a

yv = – Δ 
         4a

Ponto de mínimo

Não é necessário construir a parábola para observar seu ponto de máximo. A partir da função do segundo grau, é possível obter todas as informações necessárias algebricamente. Só não é possível ver a localização desse ponto.

Toda parábola/função do segundo grau possui vértice. Esse vértice é o ponto de mínimo se o coeficiente a > 0. Isso faz com que a parábola tenha concavidade voltada para cima e, assim, possua um “valor mínimo”, como mostra a figura a seguir.

Observando o desenho, é possível perceber que “abaixo” do ponto de mínimo não existem outros pontos da parábola. No entanto, o mais correto é dizer que a menor coordenada y de algum ponto pertencente a uma parábola, com a > 0, é a coordenada do ponto de mínimo.

Ponto de máximo

Toda parábola/função do segundo grau com a coordenada a máximo, pois sua concavidade é voltada para baixo e, por isso, ela possui um ponto que é o “mais alto de todos”.

Novamente, o correto é afirmar que não existe nenhum ponto pertencente a essa parábola com coordenada y superior a essa mesma coordenada do vértice.

A imagem a seguir mostra uma parábola com concavidade voltada para baixo e seu ponto de máximo.

É possível determinar se o vértice de uma função é ponto de máximo ou de mínimo apenas conferindo o valor do coeficiente a. Se a > 0, a função possui ponto de mínimo, e se a

Outro método para encontrar as coordenadas do vértice

Quando a função possui raízes, podemos encontrar as coordenadas do vértice da função da seguinte maneira:

1 – Encontrar as raízes da função.

2 – Encontrar o ponto médio entre as raízes. Esse valor é a coordenada x do vértice.

3 – Encontrar a imagem da função relacionada ao valor encontrado no passo 2 para x do vértice. Esse será o valor de y do vértice.

Exemplo

Determine as coordenadas do vértice da função f(x) = x2 – 16.

Solução 1 – Utilizando as fórmulas

xv = – b 
        2a

xv = – 0  
        2·1

xv = 0
       2

xv = 0

yv = – Δ
        4a

yv = – (b2 – 4ac)
             4a   

yv = – (0 – 4·1·[– 16])
                  4         

yv = – (– 4·1·[– 16])
                4      

yv = – (64)
           4

yv = – 16

Solução 2 – Encontrando o ponto médio das raízes e a imagem da função relativa a ele

As raízes dessa função podem ser obtidas pela fórmula de Bháskara. Entretanto, usaremos outro método para encontrá-las.

f(x) = x2 – 16

0 = x2 – 16

x2 = 16

√x2 = ± √16

x = ± 4

O ponto médio das raízes é xv:

xv = 4 – 4 = 0 = 0
          2       2      

Substituindo 0 na função para encontrar yv, teremos:

f(x) = x2 – 16

f(0) = 02 – 16

f(0) = – 16

Portanto, as coordenadas do vértice são: V(0, – 16).

Por Luiz Paulo Moreira Silva

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