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Matemática

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Sistema de equações

Resolver um sistema de equações significa determinar valores para as incógnitas que satisfaçam todas as equações do sistema.

Sistema com duas equações lineares. Sistema com duas equações lineares.

Sistema de equações é um agrupamento simultâneo de equações. A solução de um sistema é um conjunto de valores para as incógnitas que satisfaçam, ao mesmo tempo, todas as equações. Assim, para resolver um sistema, é necessário trabalhar as equações em conjunto.

Leia também: Como resolver equações do 1º grau

Resumo sobre sistema de equações

  • Um sistema de equações é um agrupamento de duas ou mais equações.
  • Resolver um sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfaçam simultaneamente todas as equações.
  • Os métodos da substituição e da adição são procedimentos para a resolução de sistemas lineares.
  • Um sistema linear pode ter uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Videoaula sobre sistema de equações

O que é o sistema de equações?

A descrição matemática de um fenômeno ou situação pode envolver duas ou mais equações simultaneamente. Esse grupo de equações é chamado de sistema de equações.  

Neste texto vamos considerar sistemas lineares, cujas equações são escritas no seguinte formato:

\(a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=k\)

Em que \(\left(a_1,a_2,\ldots,a_n\right)\) são coeficientes, \(\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)\) são incógnitas, e k é o termo independente.

São exemplos de sistemas de equações:

  • \( \begin{cases} x+y=7 \quad \\ x-y=1 & \quad \end{cases}\)→  sistema com duas equações e duas incógnitas
  •  \(\begin{cases} 3x-y-z=3 \quad \\ 4x-6y+2z=9 & \quad \end{cases}\)→  sistema com duas equações e três incógnitas
  • \( \begin{cases}-5w+2y+3z=4\quad \\ w-y+2z=-9 \quad \\ 2w-4y-z=7 & \quad \end{cases}\)→  sistema com três equações e três incógnitas

Como resolver o sistema de equações?

Para resolver um sistema de equações, devemos determinar quais valores para as incógnitas satisfazem, ao mesmo tempo, todas as equações. Vejamos dois métodos para a resolução de um sistema de equações. É possível utilizá-los em etapas distintas.

  • Método da substituição

O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir a expressão correspondente em outra equação, de modo a construir equações que envolvam quantidades menores de incógnitas.

Exemplo: Em uma escola, a diferença entre o número de alunos e professores é, nessa ordem, 580, e a soma é 620. Quantos alunos e quantos professores há nessa escola?

Seja x o número de alunos e y o número de professores. Assim, temos o seguinte sistema:

\( \begin{cases} x-y=580 \quad \\ x+y=620 & \quad \end{cases}\)

Vamos aplicar o método da substituição.

Primeiro, escolheremos uma das equações e isolaremos uma das incógnitas dessa equação. Escolheremos, por exemplo, a primeira equação e a incógnita x. Assim, isolando x na primeira equação, temos:

\(x=580+y\)

Agora, vamos substituir essa expressão para x na segunda equação:

\(\left(580+y\right)+y=620\)

Observe que reescrevemos a segunda equação do sistema de modo a envolver apenas a incógnita y. Consequentemente, podemos determinar o valor dessa incógnita:

\(2y=620-580\)

\(y=20\)

Sabendo o valor de y, podemos substituir em qualquer uma das equações do sistema original para encontrar o valor de x. Vamos escolher, por exemplo, a primeira equação:

\(x-20=580\)

\(x=600\)

Desse modo, a solução desse sistema é 600, 20, ou seja, há 600 alunos nessa escola e 20 professores.

Para conferir mais exemplos da utilização desse método, clique aqui.

  • Método da adição

O método da adição consiste em adicionar duas equações de modo que a soma elimine uma das incógnitas. Em muitos casos, para aplicar esse método, é necessário multiplicar uma das equações por um valor conveniente de forma a obter termos que se cancelam.

Exemplo: Determine a solução do seguinte sistema:

\( \begin{cases} y+z=7 \quad \\ 3y+z=15 & \quad \end{cases}\)

Observe que tanto na primeira quanto na segunda equação há o termo +z. Se em uma delas houvesse, ao invés disso, o termo -z, a adição das duas equações eliminaria a incógnita z .

Para que isso ocorra, multiplicaremos a segunda equação por -1. Assim, obteremos o seguinte sistema, equivalente ao original (ou seja, possui a mesma solução):

\( \begin{cases} y+z=7 \quad \\ -3y-z=-15 & \quad \end{cases}\)

Agora vamos adicionar as duas equações:

\(\left(y+z\right)+\left(-3y-z\right)=7+\left(-15\right)\)

\(y-3y+z-z=7-15\)

Como +z-z=0 , temos:

\(-2y=-8\)

\(y=4\)

Agora substituiremos o valor de y em qualquer uma das equações. Vamos escolher, por exemplo, a primeira equação:

\(4+z=7\)

\(z=3\)

Assim, a solução do sistema é y=4  e z=3, ou seja, (4,3).

Classificações do sistema de equações

Existem três tipos de sistema de equações lineares:

  • Sistema possível e determinado (SPD), quando há apenas uma solução.
  • Sistema possível e indeterminado (SPI), quando há infinitas soluções.
  • Sistema impossível (SI), quando não existe solução.

Até aqui, todos os exemplos trabalhados foram sistemas possíveis e determinados. Vejamos exemplos dos outros tipos de sistemas:

Exemplo SPI:

\( \begin{cases} x+2y=8 \quad \\ 2x+4y=16 & \quad \end{cases}\)

Aplicando o método da substituição, temos que, na primeira equação:

\(x=8-2y\)

Substituindo na segunda equação, temos que:

\(2\cdot\left(8-2y\right)+4y=16\)

\(16-4y+4y=16\)

\(0y=0\)

Observe que há infinitos números reais que podem ser utilizados para y e que satisfazem a expressão 0y=0 .

A conclusão desse raciocínio é que o sistema original possui infinitas soluções. Observe, por exemplo, que 2, 3, 4, 2 e 6, 1 são alguns exemplos de solução desse sistema.

Exemplo SI:

\( \begin{cases} x+y=7 \quad \\ x+y=1 & \quad \end{cases}\)

Note que, pela primeira equação, a soma entre x e y deve ser 7. No entanto, ao mesmo tempo, pela segunda equação, essa soma deve ser 1. Portanto, não há x e y reais que satisfaçam as duas equações concomitantemente, e o sistema não possui solução.

Leia também: Como resolver uma equação do 2º grau

Exercícios sobre sistema de equações

Questão 1

(Enem) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$100.

Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

a) 30

b) 36

C) 50

D) 60

E) 64

Resolução

Seja x o número de vezes que o participante acertou o alvo, e y  o número de vezes que errou o alvo.

Ao todo, foram 80 tiros. Portanto, x+y=80 .

Ainda, por x  acertos, o participante recebeu 20x reais e por y  erros perdeu 10y reais (o que vamos representar por -10y). Ao todo, no final do jogo, ele ficou com R$ 100.

Desse modo, o sistema que descreve esse problema é:

\( \begin{cases} x+y=80 \quad \\ 20x-10y=100 & \quad \end{cases}\)

Multiplicando a primeira equação por 10, temos o sistema equivalente:

\( \begin{cases} 10x+10y=800 \quad \\ 20x-10y=100 & \quad \end{cases}\)

Somando as duas equações, obtemos:

\(30x=900\)

\(x=30\)

Alternativa A

Questão 2

(Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa.

Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi:

a) 110

b) 120

c) 130

d) 140

e) 150

Resolução

Sejam L e C as quantidades, respectivamente, de detergentes nos aromas de limão e de coco em uma caixa. Portanto, em cada caixa, L+C=24. Ainda, como cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, tem-se L=C+2 .

Logo, o sistema que descreve esse problema é:

\( \begin{cases} L+C=24 \quad \\ L=C+2 & \quad \end{cases}\)

Note que a incógnita L já está isolada na segunda equação. Substituindo a expressão na primeira equação, temos que:

\(\left(C+2\right)+C=24\)

\(2C=22\)

\(C=11\)

Substituindo o valor de C na segunda equação, temos que:

\(L=13\)

Assim, nas 10 caixas entregues, o número de frascos entregues foi de 1013=130 .

Alternativa C

Fontes:

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.

JÚNIOR, J.R.G.; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática: 8° ano. 4 ed. São Paulo: FTD, 2018.

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

Por Maria Luiza Alves Rizzo

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