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Multiplicação de polinômios

Clique para descobrir como deve ser feita a multiplicação de polinômios em três casos distintos.

É possível multiplicar polinômios por um número natural, outro polinômio ou um monômio É possível multiplicar polinômios por um número natural, outro polinômio ou um monômio

Para definir um polinômio, é necessário antes saber o que é a função polinomial. Uma função polinomial P é a regra que relaciona cada elemento do conjunto dos números complexos a um único elemento também do conjunto dos números complexos, conforme a seguir:

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an

O que recebe o nome de polinômio é a regra a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an. Em resumo, um polinômio é a soma algébrica de monômios que possuem todos apenas uma variável. No caso da definição formal acima, essa variável é x.

A multiplicação de polinômios pode ser feita entre um polinômio e um número natural, um polinômio e um monômio ou entre dois polinômios. Em todos esses casos, deve-se conhecer a multiplicação entre monômios.

Multiplicação entre um polinômio e um número natural

Para realizar a multiplicação entre um número natural e um polinômio, basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, multiplicando o número natural por cada um dos termos do polinômio.

Exemplo: qual é o produto entre 3 e o polinômio P(x) = 2x9 + 3x2 – 8?

3·(2x9 + 3x2 – 8)

3·2x9 + 3·3x² + 3·(– 8)

6x9 + 9x² – 24

Multiplicação entre monômio e polinômio

Para realizar a multiplicação entre um monômio e um polinômio, também aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, multiplicando o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Exemplo: qual é o produto entre 3x2 e 2x6 + 3x2 – 2x?

3x2·(2x6 + 3x2 – 2x)

3x2·2x6 + 3x2·3x2 + 3x2·(– 2x)

6x6 + 2 + 9x2 + 2 – 6x2 + 1

6x8 + 9x4 – 6x3

Multiplicação de polinômio por polinômio

Para realizar a multiplicação entre dois polinômios, também será necessário aplicar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Assim, cada termo do primeiro polinômio será multiplicado por todos os termos do segundo.

Exemplo: Qual é o produto entre os polinômios 2x2 + 4x3 – 2x e 3x9 – 2x3 – 8?

(2x2 + 4x3 – 2x)·(3x9 – 2x3 – 8)

2x2 ·(3x9) + 2x2·(– 2x3) + 2x2 ·(– 8) + 4x3·(3x9) + 4x3·(– 2x3) + 4x3·(– 8) – 2x·3x9 –2x(– 2x3) – 2x(– 8)

6x2+9 – 4x3+2 – 16x2 + 12x3+9 – 8x3+3 – 32x3 – 6x9 + 4x3 + 16x

6x2+9 – 4x3+2 – 16x2 + 12x3+9 – 8x3+3 – 32x3 – 6x9+1 + 4x3+1 + 16x

6x11 – 4x5 – 16x2 + 12x12 – 8x6 – 32x3 – 6x10 + 4x4 + 16x

12x12 + 6x11 – 6x10 – 8x6 – 4x5 – 28x4 + 16x2 + 16x

Observação importante: Note que o resultado da multiplicação de polinômios tem grau igual à soma dos graus dos polinômios que foram multiplicados. No exemplo anterior, por exemplo, o primeiro polinômio tem grau 3 e o segundo tem grau 9. O grau do resultado é 12.

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Por Luiz Paulo Moreira Silva

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