Multiplicação de polinômios

Para definir um polinômio, é necessário antes saber o que é a função polinomial. Uma função polinomial P é a regra que relaciona cada elemento do conjunto dos números complexos a um único elemento também do conjunto dos números complexos, conforme a seguir:

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n – 2} + … + a_{n – 1}x + a_n

O que recebe o nome de polinômio é a regra a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n – 2} + … + a_{n – 1}x + a_n. Em resumo, um polinômio é a soma algébrica de monômios que possuem todos apenas uma variável. No caso da definição formal acima, essa variável é x.

A multiplicação de polinômios pode ser feita entre um polinômio e um número natural, um polinômio e um monômio ou entre dois polinômios. Em todos esses casos, deve-se conhecer a multiplicação entre monômios.

Multiplicação entre um polinômio e um número natural

Para realizar a multiplicação entre um número natural e um polinômio, basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, multiplicando o número natural por cada um dos termos do polinômio.

Exemplo: qual é o produto entre 3 e o polinômio P(x) = 2x⁹ + 3x² – 8?

3·(2x⁹ + 3x² – 8)

3·2x⁹ + 3·3x² + 3·(– 8)

6x⁹ + 9x² – 24

Multiplicação entre monômio e polinômio

Para realizar a multiplicação entre um monômio e um polinômio, também aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, multiplicando o monômio por cada um dos termos do polinômio.

Exemplo: qual é o produto entre 3x² e 2x⁶ + 3x² – 2x?

3x²·(2x⁶ + 3x² – 2x)

3x²·2x⁶ + 3x²·3x² + 3x²·(– 2x)

6x^{6 + 2} + 9x^{2 + 2} – 6x^{2 + 1}

6x⁸ + 9x⁴ – 6x³

Multiplicação de polinômio por polinômio

Para realizar a multiplicação entre dois polinômios, também será necessário aplicar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Assim, cada termo do primeiro polinômio será multiplicado por todos os termos do segundo.

Exemplo: Qual é o produto entre os polinômios 2x² + 4x³ – 2x e 3x⁹ – 2x³ – 8?

(2x² + 4x³ – 2x)·(3x⁹ – 2x³ – 8)

2x² ·(3x⁹) + 2x²·(– 2x³) + 2x² ·(– 8) + 4x³·(3x⁹) + 4x³·(– 2x³) + 4x³·(– 8) – 2x·3x⁹ –2x(– 2x³) – 2x(– 8)

6x²⁺⁹ – 4x³⁺² – 16x² + 12x³⁺⁹ – 8x³⁺³ – 32x³ – 6x⁹ + 4x³ + 16x

6x²⁺⁹ – 4x³⁺² – 16x² + 12x³⁺⁹ – 8x³⁺³ – 32x³ – 6x⁹⁺¹ + 4x³⁺¹ + 16x

6x¹¹ – 4x⁵ – 16x² + 12x¹² – 8x⁶ – 32x³ – 6x¹⁰ + 4x⁴ + 16x

12x¹² + 6x¹¹ – 6x¹⁰ – 8x⁶ – 4x⁵ – 28x⁴ + 16x² + 16x

Observação importante: Note que o resultado da multiplicação de polinômios tem grau igual à soma dos graus dos polinômios que foram multiplicados. No exemplo anterior, por exemplo, o primeiro polinômio tem grau 3 e o segundo tem grau 9. O grau do resultado é 12.

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