Logaritmos

Um logaritmo é uma operação matemática usada para descobrir expoentes em equações exponenciais. Os logaritmos são definidos da seguinte maneira: dados dois números reais a e b, ambos positivos, e a ≠ 1, existe um único x, também pertencente ao conjunto dos números reais que torna verdadeira a sentença:

a^x = b

Para encontrar o valor de x, podemos usar logaritmo indicado por log_ab = x, que se lê como: logaritmo de b na base a é igual a x.

Em outras palavras, algebricamente, encontramos:

Nessa definição, a é chamado base do logaritmo, b é chamado logaritmando e x é chamado logaritmo.

Observando a definição acima, podemos concluir algumas propriedades iniciais dos logaritmos:

1 – O zero e os números negativos não têm logaritmo. Note que a definição é feita apenas para números positivos.

2 – Observe que 1^x = 1 tem infinitos resultados para x. Por isso, também não existe logaritmo para a = 1.

Exemplo: calcule log₂64.

Log₂64 = x, então:

2^x = 64

Fazendo a fatoração de 64, teremos:

2^x = 2⁶

Portanto,

x = 6

Propriedades dos logaritmos

As propriedades dos logaritmos são divididas em duas “classes”. A primeira contém as propriedades consequentes diretamente de sua definição. A segunda contém as propriedades operatórias dos logaritmos, que são usadas para definir a multiplicação, divisão, potenciação e radiciação entre logaritmos.

Propriedades consequentes da definição

• log_a1 = 0

• log_aa = 1

• log_aa^m = m

• log_ab = log_ac se, e somente se, b = c

• a^logab = b

Propriedades operatórias dos logaritmos

1 – O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos, assim, dados a, b e c reais, positivos, com a diferente de 1:

log_a(b·c) = log_ab + log_ac

2 – O logaritmo da razão é igual à diferença dos logaritmos. Dessa forma, matematicamente, dados a, b e c reais, positivos, com a diferente de 1, teremos:

log_a(b/c) = log_ab – log_ac

3 – O logaritmo de uma potência n é igual a n vezes o logaritmo. Assim, dados a, b e c reais, positivos, com a diferente de 1:

log_abⁿ = n·log_ab

Todas essas propriedades são usadas para facilitar o cálculo de logaritmos, simplificando-os. Além delas, um importante teorema garante a mudança de base de logaritmos.

Mudança de base

Dados os números reais a, b e c, todos positivos, e o número a sempre diferente de 1, podemos mudar a base do logaritmo log_ab fazendo:

log_ab = log_cb
           log_ca

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