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Polinômios

Clique para aprender o que são polinômios e como realizar algumas das operações matemáticas básicas que envolvem essas expressões algébricas.

Polinômios são a adição ou subtração algébrica de monômios. Estes, por sua vez, são o produto entre números conhecidos e desconhecidos (incógnitas). Cada monômio que compõe um polinômio é chamado de termo.

São exemplos de polinômios:

a) 4xy3 + 2x2y – xy

b) a2 + 2ab + b2

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o número de incógnitas sendo multiplicadas em um mesmo termo. Quando o polinômio possui apenas uma incógnita, caso mais comum na Matemática, seu grau é dado pelo maior expoente presente em uma incógnita entre todos os seus termos. Sendo assim, o grau do polinômio 4xy3 + 2x2y – xy é 4, pois o primeiro termo possui quatro incógnitas sendo multiplicadas: x·y·y·y = xy3. Já no polinômio 2x3 – 3x2 + x – 8, o grau é 3, pois é o maior expoente da incógnita x.

Dados dois polinômios distintos, é possível definir as operações básicas matemáticas para eles. Observe:

Adição e subtração de polinômios

Para somar ou subtrair polinômios, é importante fazer o seguinte: eliminar parênteses que existirem, reescrever os polinômios colocando os termos semelhantes lado a lado e realizar as adições ou subtrações. Veja um exemplo:

Considere os polinômios A(x) = a2 + 2ab + b2 e B(x) = a2 + 2ab + b2 e calcule A(x) + B(x).

A(x) + B(x) =

(a2 + 2ab + b2) + (a2 + 2ab + b2) =

a2 + 2ab + b2 + a2 + 2ab + b2 =

a2 + a2 + b2 + b2 + 2ab + 2ab =

2a2 + 2b2 + 4ab

Observe que não é mais possível somar qualquer termo desse polinômio, pois não há mais termos semelhantes.

Multiplicação de polinômios

Para multiplicar polinômios, não é necessário que eles sejam semelhantes. Para resolver essa operação, basta usar a regra da propriedade distributiva (chuveirinho) aliada à propriedade da multiplicação de potências com bases iguais. Toda vez que houver a multiplicação entre incógnitas iguais, basta repeti-la e somar os seus expoentes. Caso contrário, o resultado da multiplicação será sinalizado pelas incógnitas colocadas lado a lado.

Por exemplo, dados os polinômios A = a2 + b2 e B = a3 + b2, calcule A·B.

(a2 + b2)(a3 + b2)

a2a3 + a2b2 + b2a3 + b2b2

a2+3 + a2b2 + b2a3 + b2+2

a5 + a2b2 + b2a3 + b4

Divisão de polinômios

Considere os polinômios D(x) e d(x), é possível encontrar um q(x) que faz valer a seguinte afirmação:

D(x) = d(x)q(x) + r(x)

Os procedimentos para realizar a divisão entre dois polinômios e alguns exemplos detalhados dessa operação podem ser encontrados aqui.

Em geral, para dividir polinômios, repetimos os mesmos procedimentos da divisão de números reais. Veja um exemplo:

Calcule a divisão de x2 – 5x + 6 por x – 3:

Primeiramente, organize a divisão exatamente como na divisão numérica:

x2 – 5x + 6 | x – 3

Agora procure um número que, multiplicado por x (termo que determina o grau do divisor), tenha como resultado x2 (termo que determina o grau do dividendo). Coloque esse número ou incógnita no quociente e multiplique-o pelo divisor. O resultado deve ser colocado abaixo do dividendo com o sinal trocado:

x2 – 5x + 6 | x – 3
– x2 + 3x
         x      

0 – 2x

Agora devemos descer o próximo termo do dividendo e repetir o procedimento:

x2 – 5x + 6 | x – 3
– x2 + 3x
        x – 2   
0 – 2x + 6        
2x – 6  
     0

No caso desse exemplo, o resto foi zero.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática




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