Polinômios

Polinômios são a adição ou subtração algébrica de monômios. Estes, por sua vez, são o produto entre números conhecidos e desconhecidos (incógnitas). Cada monômio que compõe um polinômio é chamado de termo.

São exemplos de polinômios:

a) 4xy³ + 2x²y – xy

b) a² + 2ab + b²

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o número de incógnitas sendo multiplicadas em um mesmo termo. Quando o polinômio possui apenas uma incógnita, caso mais comum na Matemática, seu grau é dado pelo maior expoente presente em uma incógnita entre todos os seus termos. Sendo assim, o grau do polinômio 4xy³ + 2x²y – xy é 4, pois o primeiro termo possui quatro incógnitas sendo multiplicadas: x·y·y·y = xy³. Já no polinômio 2x³ – 3x² + x – 8, o grau é 3, pois é o maior expoente da incógnita x.

Dados dois polinômios distintos, é possível definir as operações básicas matemáticas para eles. Observe:

Adição e subtração de polinômios

Para somar ou subtrair polinômios, é importante fazer o seguinte: eliminar parênteses que existirem, reescrever os polinômios colocando os termos semelhantes lado a lado e realizar as adições ou subtrações. Veja um exemplo:

Considere os polinômios A(x) = a² + 2ab + b² e B(x) = a² + 2ab + b² e calcule A(x) + B(x).

A(x) + B(x) =

(a² + 2ab + b²) + (a² + 2ab + b²) =

a² + 2ab + b² + a² + 2ab + b² =

a² + a² + b² + b² + 2ab + 2ab =

2a² + 2b² + 4ab

Observe que não é mais possível somar qualquer termo desse polinômio, pois não há mais termos semelhantes.

Multiplicação de polinômios

Para multiplicar polinômios, não é necessário que eles sejam semelhantes. Para resolver essa operação, basta usar a regra da propriedade distributiva (chuveirinho) aliada à propriedade da multiplicação de potências com bases iguais. Toda vez que houver a multiplicação entre incógnitas iguais, basta repeti-la e somar os seus expoentes. Caso contrário, o resultado da multiplicação será sinalizado pelas incógnitas colocadas lado a lado.

Por exemplo, dados os polinômios A = a² + b² e B = a³ + b², calcule A·B.

(a² + b²)(a³ + b²)

a²a³ + a²b² + b²a³ + b²b²

a²⁺³ + a²b² + b²a³ + b²⁺²

a⁵ + a²b² + b²a³ + b⁴

Divisão de polinômios

Considere os polinômios D(x) e d(x), é possível encontrar um q(x) que faz valer a seguinte afirmação:

D(x) = d(x)q(x) + r(x)

Os procedimentos para realizar a divisão entre dois polinômios e alguns exemplos detalhados dessa operação podem ser encontrados aqui.

Em geral, para dividir polinômios, repetimos os mesmos procedimentos da divisão de números reais. Veja um exemplo:

Calcule a divisão de x² – 5x + 6 por x – 3:

Primeiramente, organize a divisão exatamente como na divisão numérica:

x² – 5x + 6 | x – 3

Agora procure um número que, multiplicado por x (termo que determina o grau do divisor), tenha como resultado x² (termo que determina o grau do dividendo). Coloque esse número ou incógnita no quociente e multiplique-o pelo divisor. O resultado deve ser colocado abaixo do dividendo com o sinal trocado:

x² – 5x + 6 | x – 3
– x² + 3x          x      
0 – 2x

Agora devemos descer o próximo termo do dividendo e repetir o procedimento:

x² – 5x + 6 | x – 3
– x² + 3x        x – 2   
0 – 2x + 6        
2x – 6  
     0

No caso desse exemplo, o resto foi zero.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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