Condição de existência de um triângulo

Os triângulos são figuras geométricas planas formadas apenas por segmentos de reta, fechadas e que possuem apenas três lados. Existe uma propriedade a respeito desses lados, conhecida como condição de existência de um triângulo, que determina se um triângulo poderá existir ou não de acordo com o comprimento de seus lados. Essa propriedade será estudada a seguir.

Fundamento da condição de existência

Imagine que um triângulo será construído com três varetas de tamanho fixo. A maior delas será colocada na horizontal. Veja a figura a seguir:

Construção de um triângulo com medidas fixas para os lados

Observe na imagem a seguir que, se girarmos as duas varetas, elas se tocarão no ponto A, fechando o triângulo.

Na imagem a seguir, observe pela trajetória que as varetas não se tocarão, independentemente do giro que for feito com elas.

Perceba que existe uma propriedade em torno do comprimento dos lados do triângulo para que seja possível construí-lo. Essa propriedade é o que chamamos de condição de existência de um triângulo.

Condição de existência

A condição para que essas varetas se toquem é a seguinte: o resultado da soma das medidas das duas varetas que foram giradas precisa ser maior que a medida da vareta horizontal. Traduzindo para a linguagem matemática, teremos a seguinte regra:

Em qualquer triângulo, a soma das medidas de dois lados é sempre maior que a medida do terceiro.

Observando as imagens acima, esses lados que estão sendo somados são as varetas livres que foram giradas. Observe que o comprimento das varetas é justamente o raio da circunferência que descreve a possível trajetória de suas extremidades. Assim, para que haja triângulo, é preciso haver ponto de intersecção entre essas circunferências.

Observe apenas que esse ponto não pode ser de tangência, ou seja, essas circunferências não podem se tocar em apenas um ponto, pois, dessa maneira, a soma dos dois lados livres do triângulo seria igual à medida do terceiro. Com isso, teríamos a seguinte figura:

Essa figura, evidentemente, não é um triângulo.

Suponha que as medidas dos lados de um triângulo sejam a, b e c. A condição de existência de um triângulo é a seguinte:

a

b

c

Essa condição também é conhecida como desigualdade triangular. Contudo, não é necessário verificar todas elas para garantir a existência de um triângulo. Sempre que a soma dos dois lados menores de um triângulo for maior que o comprimento do maior lado, esse triângulo será possível.

Para compreender melhor, imagine que a é a maior medida entre as três. Então, se

a

b será menor que a + c e c será menor que a + b.

Triângulo em que valem as desigualdades citadas acima

Observe que o triângulo da imagem acima obedece a essa regra. 9

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática