Razão e proporção

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Razão e proporção Estudos a respeito de proporção envolvem conhecimentos sobre razão e dão base para a regra de três
Por Luiz Paulo Moreira Silva
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Razão e proporção são conceitos que estão intimamente ligados. Dizemos que existe uma proporção ao observar duas ou mais razões e construir uma relação entre elas.

O conceito de razão está relacionado com o conceito de divisão. Dizemos que a razão entre os números A e B é o quociente A : B, ou seja, o resultado da divisão de A por B é chamado de razão. A representação de uma razão pode ser A : B, A/B, o próprio resultado ou o mais usual:


A
B

A é o numerador e B é o denominador. Como exemplo, a razão entre os números 20 e 5 pode ser escrita: 20:5, 20/5 ou

20
5

e tem como resultado o número 4. Logo, 4 é a razão entre 20 e 5.

Outro exemplo de razão é a porcentagem. Porcentagem é uma razão que tem o denominador igual a 100.

Proporção:

Quando duas razões têm o mesmo resultado, elas são chamadas de proporção. Portanto, tem-se uma proporção quando é observada a igualdade entre duas ou mais razões. Assim, se a razão entre A e B é igual à razão entre os números C e D, dizemos que a seguinte igualdade é uma proporção:

A = C
B    D

Nesse caso, leia essa igualdade da seguinte maneira: A está para B assim como C está para D. É importante dizer ainda que A e D são chamados extremos das proporções e B e C são chamados meios.

Propriedades:

1 – Em toda proporção, o produto entre os extremos é igual ao produto entre os meios, ou seja, se

A = C
B    D

Então

A·D = B·C

Essa é a técnica utilizada para o cálculo de proporções quando se tem apenas três dos números acima e é necessário descobrir o quarto. Por essa razão, esse cálculo é chamado de regra de três.

2 – Em toda proporção, é possível trocar os extremos de lugar. Dessa maneira, as igualdades a seguir são verdadeiras.

A = C
B    D

D = C
B    A

3 – Em toda proporção, é possível trocar os meios de lugar. Essa propriedade funciona exatamente como a anterior.

4 – Em toda proporção, é possível inverter as duas razões ou trocá-las de lugar. Portanto, as igualdades abaixo são verdadeiras e equivalentes.

A = C
B    D

B = D
A    C

D = B
C    A

A imagem abaixo é resultado de proporções e de suas propriedades. Ela é feita a partir de uma curva, chamada proporção áurea. Os povos antigos acreditavam que qualquer imagem feita tendo como base a proporção áurea seria uma imagem perfeita. Por isso, essa curva acabou sendo utilizada como sinônimo de perfeição.

Representação geométrica de proporção utilizada como sinônimo de perfeição
Representação geométrica de proporção utilizada como sinônimo de perfeição

Isso ocorre porque a construção da proporção áurea é feita com base em retângulos. A proporção em que essa curva “corta” cada retângulo é sempre a mesma.

Grandezas:

Grandeza é qualquer coisa que pode ser medida ou contada. Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando duas razões entre elas, tomadas respeitando a mesma ordem, são iguais. Por exemplo: em uma fábrica, 6 funcionários produzem 70 sapatos por dia. Em dois dias, serão 140 sapatos produzidos, pois, dobrando o tempo de trabalho, dobra-se a produção. Dessa maneira, a razão de sapatos produzidos por dias trabalhados pode ser escrita:

70 = 140 = 70
1       2         

Cálculos:

Com esse conhecimento, é possível descobrir um valor de duas grandezas proporcionais tendo apenas outros três valores em mãos. Por exemplo: em uma fábrica, 70 funcionários produzem 400 sapatos por hora. Quantos funcionários serão necessários para produzir 1600 sapatos por hora?

Escreva a proporção: 70 funcionários está para 400 sapatos assim como x funcionários está para 1600 sapatos. O número de funcionários necessários para a nova produção de sapatos é desconhecido e, por isso, representado pela letra x.

70  =   x  
400   1600

Lembre-se: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, portanto:

70·1600 = 400x

400x = 112000

x = 112000
     400

x = 280

Serão necessários 280 funcionários para a produção de 1600 sapatos.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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