Plano Cartesiano

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Plano Cartesiano Alguns pontos marcados no primeiro quadrante do plano cartesiano
Por Luiz Paulo Moreira Silva
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O Plano Cartesiano é definido por duas retas perpendiculares. Por meio dele, é possível encontrar localizações no plano, calcular a distância entre dois pontos, distâncias entre ponto e reta, entre outros. Existem inúmeras utilidades para o plano cartesiano. Uma das mais importantes é relacionar a Geometria com a Álgebra, dando origem à disciplina conhecida como Geometria Analítica.

Retas numéricas no plano cartesiano

As duas retas que constituem o plano cartesiano são retas numéricas que se encontram na origem. Isso significa que cada uma dessas retas é associada aos números reais. Em outras palavras, qualquer ponto destacado em uma dessas retas representa um único número real. O fato de se encontrarem na origem significa que elas compartilham o ponto referente ao número real zero. Como o ângulo entre elas tem que ser de 90°, seu desenho será o seguinte:

Duas retas perpendiculares que se encontram na origem
Duas retas perpendiculares que se encontram na origem

Observe que os sentidos positivos dessas retas foram escolhidos: para cima, na reta vertical, e para a direita, na reta horizontal. Esse sentido é extremamente importante para determinar corretamente localizações no plano. Além disso, note algumas coisas:

1 – Um número à esquerda sempre é menor que outro à direita. Um número mais para baixo sempre é menor que um número mais para cima;

2 – Quanto maior o valor em módulo (valor do número ignorando seu sinal), menor o valor de um número negativo. Por exemplo: – 9 é menor que – 7, pois 9 é maior que 7. (observe que – 9 está mais à esquerda ou mais para baixo que – 7);

3 – A reta horizontal é chamada de abcissa e a reta vertical é de ordenada.

Localização no plano cartesiano

O plano cartesiano possibilita marcações de localização. Essas indicações são feitas por meio de pares ordenados, que são pares de números reais capazes de indicar qualquer ponto do plano cartesiano. Um par ordenado é dado por meio de dois números reais, chamados de coordenadas. O primeiro deles refere-se ao eixo das abcissas, e o segundo, ao das ordenadas (modo como as retas horizontal e vertical são chamadas). Matematicamente:

Sejam x e y números reais, existe um ponto A no plano cartesiano que representa a localização dada por esses números, cuja notação é A = (x, y). O x representa o valor da abcissa e y representa o valor da ordenada.

Assim, o ponto A, cujas coordenadas são (x, y), pode ser encontrado no plano cartesiano da seguinte maneira:

1) O primeiro valor (x), que é representante da abcissa e é chamado de coordenada x, deve ser marcado na reta horizontal. Desenhe uma reta tracejada perpendicular à abcissa (reta horizontal) passando pelo local onde a primeira coordenada (x) foi marcada.

Esquema que ilustra o modo como a primeira coordenada deve ser marcada no plano cartesiano
Esquema que ilustra o modo como a primeira coordenada deve ser marcada no plano cartesiano

2) O segundo valor (y), que é representante das ordenadas e é chamado de coordenada y, deve ser marcado na reta vertical. Desenhe uma reta tracejada perpendicular à ordenada (reta vertical) passando pelo local onde a segunda coordenada (y) foi marcada.

Esquema que ilustra o modo como a segunda coordenada deve ser marcada no plano cartesiano
Esquema que ilustra o modo como a segunda coordenada deve ser marcada no plano cartesiano

3) O ponto de encontro entre as duas retas tracejadas é a localização do ponto A.

Exemplo: Marque, no plano cartesiano, o ponto B = (– 2, e 5)

Procedimento a ser realizado para marcar o ponto B no plano cartesiano
Procedimento a ser realizado para marcar o ponto B no plano cartesiano

Quadrantes

O plano cartesiano sempre é desenhado por duas retas que, ao se encontrarem, formam quatro regiões conhecidas como quadrantes. Esses quadrantes são numerados em sentido anti-horário, começando pela região que compartilha valores positivos tanto para coordenadas x quanto para coordenadas y.

  • A região onde todos os valores possíveis das coordenadas x e y são positivos é chamada de primeiro quadrante;

  • A região onde os valores das coordenadas x são negativos e os valores das coordenadas y são positivos é chamada de segundo quadrante;

  • A região onde os valores das coordenadas x e os valores das coordenadas y são negativos é o terceiro quadrante;

  • A região onde os valores das coordenadas x são positivos, mas os valores das coordenadas y são negativos é chamada de quarto quadrante.

Os quatro quadrantes de um plano cartesiano seguem o sentido anti-horário
Os quatro quadrantes de um plano cartesiano seguem o sentido anti-horário


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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